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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 YOgT}ijx>  
AjjTIcZ  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. kON!RFSD[  
+^\gfQoa  
　　1、三角函数本质： m|W_r[  
?J}88v@L  
　　三角函数的本质来源于定义 ?F/x,X  
\C@|?.J0  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 p<y ( )D0  
ZU<MLU   
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 [>pug`-p  
UXK.z"#  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ; bd,bi  
iQ*\MF`)O(  
　　推导： TFVx"PzRs-  
W~j8=a  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 sGGdq1L  
K`2Iy88  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) aPoixBxpnP  
a)<H {9  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) u-UU<f4U  
%#B='n)  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1m)r@ <:  
eZ bv$L_CG  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） yow=k"_"O  
#,m =<.Rp  
　　[1] "tYt@ci  
w=r@09fQ&B  
　　两角和公式 u!|='<Y"  
7TwY@F~AW  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB +27-QS$h  
z6'aY3 G  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  RF=<T BP>  
``@v\"  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB H)$mB/~;  
! V<K/]/e  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB +?VNZ5-  
}b)./K  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) <onS?[b |  
&|KN  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) yXgZ!7IJJ  
Oq(<0[  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  12L4NU  
LKjUpkh  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) J  0]z`1  
eo}@;ok  
倍角公式 qvP0"2jf  
f{ y"_H+7  
　　Sin2A=2SinA•CosA 1k;5U#)U-  
H_J0a,6B  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 S^L0ffC4h  
+CmeuU!J  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ?'d>e/th1Y  
iO|18kEA  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 0Ph7Msv  
)}K''jyQ=  
三倍角公式 nOb H?o  
?ZF"\z(P  
　　 r*j0Cll  
si6:jYk,  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) sR]NET@Sb  
q4<Fj1t>  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) !!U;U  
x*y'8O"  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) J%cizO#D  
\- _ +K_[  
三倍角公式推导 cfE-v  
)BlXccA  
　　sin3a R $@5d  
8c1A}TKWH4  
　　=sin(2a+a) -vb#dm{`  
c8!G4^  
　　=sin2acosa+cos2asina #5Z>o A,  
hKdWMj"#}  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <uVCcQ%  
+GREV d9  
　　=3sina-4sin³a V^Z i -  
*T8[V H  
　　cos3a E;2g~qt-  
r6LQ2N%  
　　=cos(2a+a) ~Zhs:FBk&  
L rul  
　　=cos2acosa-sin2asina QNa=7}  
62QSFRWy  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa NF?+qL|  
MA\pk6  
　　=4cos³a-3cosa mpx4yLO'ji  
wSfgH`  
　　sin3a=3sina-4sin³a IA97[iYr_  
u%AV%(_f  
　　=4sina(3/4-sin²a) .HrPP  
ysS!N-0P  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] hHsm- ]9S  
}FW7h34o_e  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ([ tK-/   
{{)Lly0  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) OEw]V>DHq  
FT~|sDO1  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ozqh  f  
} M J5y1~  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Yr4L6o2  
Jm0C|3)|_  
　　cos3a=4cos³a-3cosa i==u(-[  
FT7<J:+7  
　　=4cosa(cos²a-3/4) w=ypysLB+  
B,(+gw  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] y'8Fd$K"#  
!"K}@QD]  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ! ph&Cs  
cg L57Is2  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) c vKg^rI  
Y\{$\8ORg  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} FD72AcX  
%<,:W#gt1  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) r5!\-a t  
ti?L9  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] rwzed<t8  
I@@(G()F:  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 2vkVCU6#  
"+%5%}m>  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Db0 /,}^  
iM0I}E_qG  
　　上述两式相比可得 Csrwp{_  
>_F7D?xqG  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) R? d; N  
j EnfE  
半角公式 B|h3Q30m  
P%{q3Zz  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ^Z&`1IrL2v  
;c@!M2v6r~  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. :LuJ+>+  
{p.=C  
和差化积 9#!YNy  
<d'!   
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Uq _iG{  
{'G?]{4  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] V{5]q<W2  
2Na$k JNr  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 3NrP 2G}  
lEo)& 3D  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] b&bvbCTx Q  
7LKb$O';'  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ,U Reu%,  
(QHJJRGAJ  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ]a ieflL  
+:Dv o)E/  
积化和差 =B9%|2P"6  
M!G-+}K  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] :Q.oL_E !  
c1m]@uR)?  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] yZ1uCNG  
1.Q@ <  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] wb]k@  
bFGg /U+  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] a% #Z=8  
[g2 CWU  
诱导公式 J# 7u  
74y/Thw[  
　　sin(-α) = -sinα W+axa .wd  
{l3)#lWm`  
　　cos(-α) = cosα rID|Pt-TF  
<s?,Wae  
　　sin(π/2-α) = cosα E^*IVBOz  
?yF3)~{^  
　　cos(π/2-α) = sinα F>*z7Xt  
o 3 6!  
　　sin(π/2+α) = cosα ,1:e@~3s0  
zEW;M?e  
　　cos(π/2+α) = -sinα mLch_->  
z8mcl.5  
　　sin(π-α) = sinα D pq7 5M  
HZo _l rV  
　　cos(π-α) = -cosα +''veNQ\S  
>jGcbKFe~  
　　sin(π+α) = -sinα -,T>S @RUS  
UJ"}l' @  
　　cos(π+α) = -cosα Do3R|l.,  
Y2zN1=O/  
　　tanA= sinA/cosA `%0^ba"T[  
G#SN,iF7  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα FON-~WlA  
{+~N\ng|^  
　　tan（π/2－α）＝cotα o1i2I#[q  
B-!y|}@  
　　tan（π－α）＝－tanα *#8O@>&lz  
WWf%ERkzy  
　　tan（π＋α）＝tanα ,_3eim }f  
sO<.c  
万能公式 yG5lj&{  
z[[.qJe!i  
　　 CNl_- 'O^  
VPwV(q=Q  
其它公式 mE:j?L:Pu  
|r> j3xPK  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 .*3[`mU  
#|yUP.#T  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 H"EtJ[o  
tS2I 3Um~  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Nb4]A'"  
s >fr`C  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 =i*iB?kQ  
Z[ )b=rlJ  
　　对于任意非直角三角形,总有 .z2B^S  
fHZlNj   
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC U^549+  
i&+!1%+Ic  
　　证: _dLm-pviV  
iS]C DI7  
　　A+B=π-C wXi,I'  
_DN31%  
　　tan(A+B)=tan(π-C) z, c",B6  
T'f.+P g  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) e["TpK`  
QG._=M  
　　整理可得 tn!Bl  
bf gLE  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC H_ib))n  
'lf"22-H)  
　　得证 q 'U Y  
"S'">Q"U  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 )T~bfEO   
k K5^t+F  
其他非重点三角函数 HZ1YM]KM  
{d%0mI6<  
　　csc(a) = 1/sin(a) Ur:ep!  
hrm.%tK'Ix  
　　sec(a) = 1/cos(a) }. X^L*w  
!vk;(i28  
　　 X.}0XIH`y  
"gj4 A$  
双曲函数 rR'z3!<  
WI5:&jw6  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 5=5.:Km\Z  
^jp~@Zfa  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 yhB&q(H^  
M)76H|  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) #ofJkQv  
DX~rVEQb  
　　公式一： Z $u!y[  
\ !=I b  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： iN1${=`  
;qpo5K|umr  
　　sin（2kπ＋α）= sinα m%n$=!  
:p[-.ZaYq  
　　cos（2kπ＋α）= cosα +! E  
3oWWHX.  
　　tan（kπ＋α）= tanα ~7Wh>aN82  
"F]H4Owgr  
　　cot（kπ＋α）= cotα  <r=gC:u  
T@V7 !Y  
　　公式二： he[f?$Yj  
-,]JxO*(  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： : ms'Jj~x  
:X]6~wG  
　　sin（π＋α）= -sinα Jf6 {mV  
;I 0 ueoUT  
　　cos（π＋α）= -cosα :<{7%+B  
*l;pm;  
　　tan（π＋α）= tanα Yg"Ry~7__  
GVp&_dh  
　　cot（π＋α）= cotα ,o&SW*w7  
3i&lkC)A  
　　公式三： +9-vh5RW  
cI%%H*A  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Dc}~se+bPA  
V)%Tc/0  
　　sin（-α）= -sinα npalE:  
n3J fB89  
　　cos（-α）= cosα o1a0 TD  
Zy^k4z>  
　　tan（-α）= -tanα k}4m *`  
a[[aoiU  
　　cot（-α）= -cotα xJUWxJ@   
NV=_pU  
　　公式四： 7*;VznFA  
-_10gZ^)  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： '}[6  
/tK  
　　sin（π-α）= sinα 7J}.j$;-  
?8'(kzrv  
　　cos（π-α）= -cosα AUVT-.*_  
/Qh GJmL  
　　tan（π-α）= -tanα  9vC&G*gX  
>F\awjD~ 7  
　　cot（π-α）= -cotα >W nA`Ku  
!k35~,2.  
　　公式五： +0 2k91S  
O Dv=~  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 2*{L &I_IT  
%]nSxY'  
　　sin（2π-α）= -sinα _P},iK\j+  
3hHmmr?  
　　cos（2π-α）= cosα q@U-jg  
L+3$%W&o  
　　tan（2π-α）= -tanα @ 0s W]  
aO6 $q sB  
　　cot（2π-α）= -cotα :.s- V;  
2Gn5I (w  
　　公式六： FGFC$L=  
4vD).GW%  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： D fnPfQ  
RrLftEv<]  
　　sin（π/2+α）= cosα $Bng" &.P  
['--ZZd.  
　　cos（π/2+α）= -sinα a%O|I  
tE`D-+I  
　　tan（π/2+α）= -cotα !k!y,G%k  
i^z k_=|FW  
　　cot（π/2+α）= -tanα _se^CxW  
oP4 _IOR  
　　sin（π/2-α）= cosα mqM~ Ie/z  
ly`?' H  
　　cos（π/2-α）= sinα k{'68/  
' :K8t:  
　　tan（π/2-α）= cotα 7p0nY  
`{Z=@  
　　cot（π/2-α）= tanα U_# 9rRPX  
LU7t`iL g  
　　sin（3π/2+α）= -cosα <WL*V  
Pz a#U3y  
　　cos（3π/2+α）= sinα &5M]%N(  
qfV!bGpP  
　　tan（3π/2+α）= -cotα bd:}~s  
ybJ:Tv-g  
　　cot（3π/2+α）= -tanα -Y\0vc)  
cpcsg2h  
　　sin（3π/2-α）= -cosα g Z>%W%gL=  
`GYOM]  
　　cos（3π/2-α）= -sinα  '\|r  
!e4:EH  
　　tan（3π/2-α）= cotα Eyxi7  
o/M/>UV9  
　　cot（3π/2-α）= tanα 0R@Ly< f,  
e\b]V)({)  
　　(以上k∈Z) \\KE/{xNK  
;).5!+</VU  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Z6*hzp  
HN> F  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 4z'<G.  
@ }&  n  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } {dQ>{[  
_ +w~P1F  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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