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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 '\'m:GI2V  
0^^1ueB O  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. f^$T&qJ  
#H=^ =<Ul  
　　1、三角函数本质： y T g~  
M'6AS;RO  
　　三角函数的本质来源于定义 <Xf"cV:  
BS?LnY!  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 PT y&x1u  
mj *@b  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 7& Ns`F4,  
2JifR;  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 83.~hT!0  
&L ?<%z:b  
　　推导： vJhb0q,s5E  
1S ~^|v5  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 zbNy*fF3SZ  
y/f'&M.$w  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ttf&FF|  
'# iB"h$/0  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Wv6cR(zX  
yU$ 7XEo  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 kF#v #  
VJ/Ch++  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） l_,\-7z  
]R=L$Xs]0E  
　　[1] mea<2,<}  
w5y@  
　　两角和公式 0&Mle;ah  
6 hlI  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB CTfR<_|w  
}9]K+3:  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  3v-o+bq j  
oD<]02!  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB nOnA+F <  
Q{8PWV>  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB $X>TfqQb  
(@V}BjLTc=  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) \df ZD80  
I-O}lB/j{  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) -ho.T:t'  
R0I-i0-cp  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  (!_|zy[G  
K:-borc&g  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) m~7fLYP@  
BdE-B[kx  
倍角公式 W4E__+TRg  
=2voe ET  
　　Sin2A=2SinA•CosA }HA9oZ P2  
O:}#w'o>2  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 :&"QV8O  
MfO=Tg$*  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ?pexEt'  
SR=-Ccwb  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 7z\XOH  
-<,yNf  
三倍角公式 !@iz|Uf  
M +rL,3<r  
　　 `e jbt}HI  
Wd[1 9P  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) |J V~-  
[6[/X 16O5  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) c8^K499h  
&W0l=T<?  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) zLGTV`;#  
cpi 8nqK  
三倍角公式推导 EFG!w-1  
Uw}4y!:X7z  
　　sin3a OPs/z&_]  
l0P_XcqF  
　　=sin(2a+a) C$Amh;: j  
2nt 5&D4|  
　　=sin2acosa+cos2asina 6Mgr`"h9  
j,inqP]F  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina !bdLeP[7  
OJXA[kU  
　　=3sina-4sin³a H{HNS&{z]<  
m@!)_]i  
　　cos3a y:6Y  
iTr>!JbQ  
　　=cos(2a+a) 2[kO2[  
EHhu0{#  
　　=cos2acosa-sin2asina E,mCY^nxU  
d-bX  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa G`]rNn  
=R m]   
　　=4cos³a-3cosa z[`VPiC"xz  
"_cPn+  
　　sin3a=3sina-4sin³a vqM s2|co  
;'{|4CB^PA  
　　=4sina(3/4-sin²a) y9_c0  
)Hm4{E7~  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 9*TSJ$zwE=  
i{q  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) RF:M+WR8dP  
[ 'H)h^UR  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) d|:\}[2 7  
> ]bj'4$  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Qp#Ao[g  
1w";Z|~u9  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ;F:r,7-jq  
3*`6_  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Ay-4cVI"  
 O %0  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 5nTo"1GLx  
lL#;WT7u  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] H(a<y@6I_  
fe/ >Pm  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) rd~~q& 1  
Ms6`P, OG  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) w3- b~()  
4O=4yycO)  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} I%F*(i  
?UC)?84D  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) !%|XKR}>  
 A<9>Z  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] %%l5#ba  
5-Y?J,i*  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 2=?mIH?L;  
Jpt^#  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Quh,"6{Tt  
:\;(ez  
　　上述两式相比可得 BX,(7##  
eC25$:$TI5  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) &=Hv,"C  
5XC#Uu8  
半角公式 ~=FT_+JN&Y  
DQ2 iXpSX  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); AgJ@` SDQ  
s1_vnGgV  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. uk%{6(b  
a p2uG+;b  
和差化积 RZ|G'F  
!;R$pMJ  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^#T5[BCG.h  
raXJ F:  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] VQ/dHNsJ  
Mvy8`; &  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,@41DWn&  
3D{7B<V]  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] j;< $ :/  
*2^3 \k o  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) f  O0  
EN%\K x'y  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Y9~^u{kI5v  
Py5Fy)9  
积化和差 foZue  
nO !? f[  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] qtI*@6 `  
|'Ih]kb6}!  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] g_*Ua00I  
@j/Cwg  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] oqBQp~:0  
%"Q ;mb  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] !{K.Gd  
Q &Mg[?}  
诱导公式 F!J'pt  
k|$5C)jBGN  
　　sin(-α) = -sinα M(*v4 u  
8>h Rqrrq  
　　cos(-α) = cosα aXSbp`Z  
$ !;b  
　　sin(π/2-α) = cosα ,B30#nIl  
4;T(1sC{  
　　cos(π/2-α) = sinα WPQDey7YQ  
B]cp'(o  
　　sin(π/2+α) = cosα p5dlx"~RX  
EAjGG7#  
　　cos(π/2+α) = -sinα w?* A`z:  
<J3v,+2E  
　　sin(π-α) = sinα -I(x^i;!  
$t\ 3Fu  
　　cos(π-α) = -cosα g=d,':v@K  
Z?p)5d81  
　　sin(π+α) = -sinα /Cnjg .fN  
.U;Z]:1~  
　　cos(π+α) = -cosα eT *?h-Os  
lNL-@7=m  
　　tanA= sinA/cosA AuyW6-n}  
RN %?{_{  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ^:={jcEC.  
XtP(malP  
　　tan（π/2－α）＝cotα go90 Z  
v'"B$#OKl  
　　tan（π－α）＝－tanα 3OloIxDj  
E ,^t~Z,  
　　tan（π＋α）＝tanα 9 (xWbA  
&5y![u~<5w  
万能公式 gsVSN@P/  
rPFC>NN  
　　 [b q}G%v+o  
Qsq0  
其它公式 tm? Dx}5~5  
7 IcM+mb  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 A\qa31  
!NXw\`=0U  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ;.=*FC  
NQ/EEs&  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 =[1V940l  
nR8|g%  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 $V@00uG  
wF }m+u  
　　对于任意非直角三角形,总有 w*;kq)24I  
ov-V"7'  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC [0fneE":&  
VHH>G31D'  
　　证: 8NNdOH  
,hH6zCB0  
　　A+B=π-C 7Z*Dc YF~  
UIb3G @  
　　tan(A+B)=tan(π-C) -2%sR-bP  
uOEZ:k&S  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Hc*5Av  
t8S8F`J  
　　整理可得 #Rcg 1KOu  
3~d04]t|  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC BpNA/?W  
,;)4430~}  
　　得证 g(MiFO ,`  
G&pl+\  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 vp=khUI  
'3Kl 6_4{  
其他非重点三角函数 bq'HTw_T2  
$ .+W!yk  
　　csc(a) = 1/sin(a) HE ;`}qrm  
y_CLnAyI,F  
　　sec(a) = 1/cos(a) 4WW/k#s  
~5l3>>UA  
　　 ]#jm /S  
hybz-b&c  
双曲函数 +u) Oqz  
ZL\PTW,Qs  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 vDVMLq^;  
LQ*Ipq9C  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 {Q8VKEg,  
@Ymy1L+O+  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) /7.<XEO?  
 mb5soO  
　　公式一： ]NV 7z$8  
)|aNS%N7>  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： $pr8^ih$  
; @ mQ  
　　sin（2kπ＋α）= sinα N9C=CI2H<9  
yjx P%K  
　　cos（2kπ＋α）= cosα [ 4|1 mez  
w B33;c0  
　　tan（kπ＋α）= tanα 'agT  
Y}WPa~  
　　cot（kπ＋α）= cotα M O~qF;  
:3X`YIf  
　　公式二： v} M D735@  
OE8z0N  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 9 /2U>;H  
;%8K $r  
　　sin（π＋α）= -sinα Nc"e960!'  
53#=zaXoR  
　　cos（π＋α）= -cosα 7Z*./0GgG  
[)Bhv<n3q  
　　tan（π＋α）= tanα Ig 'FRPk  
NJ 6)  
　　cot（π＋α）= cotα ,{vF"??  
G8> mjAb6  
　　公式三： A'-);WV!5  
d\UJqR[:W  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： GS#"  
('^F-OX1  
　　sin（-α）= -sinα k@[x\ S i  
m$[)z  
　　cos（-α）= cosα U15uhhVt  
nBF# P#}  
　　tan（-α）= -tanα zvc GM(  
0!L).l'  
　　cot（-α）= -cotα =EMKGl  
1>GZ@B$2  
　　公式四： Kiw_ (O9  
V6>b!t[^  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： V-b-e"x  
k;SBk8S.Y  
　　sin（π-α）= sinα tgA}_}k((  
saNqdO8  
　　cos（π-α）= -cosα , S&(,e  
t`*mh5  
　　tan（π-α）= -tanα z` Tim!KaS  
Q:}(A~RP  
　　cot（π-α）= -cotα GJUsB,6  
~*=gM k  
　　公式五： ]kc\ZC<  
?Hh0ir!~E  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： >4*;)4YY  
mIfdW:S8j  
　　sin（2π-α）= -sinα 9QQS^^Q  
").oXio&Y}  
　　cos（2π-α）= cosα Y0Xa<  
pJ?XjVu  
　　tan（2π-α）= -tanα tX>@ pSQ  
2; WFmT%  
　　cot（2π-α）= -cotα _G^*v[s S  
# l\7hX[  
　　公式六： TcS+[|4  
~ t=j%mW  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： !Jn IF9  
[g4) 6  
　　sin（π/2+α）= cosα +K(;<kr<F  
H-2 cgG  
　　cos（π/2+α）= -sinα gT`Usb{2*(  
3zbZ:`J  
　　tan（π/2+α）= -cotα y9KU4k.o  
( m0v&y*"Y  
　　cot（π/2+α）= -tanα 4#*gYU  
L Q|uwQ  
　　sin（π/2-α）= cosα \ AEb&>  
c2}Hc<cw8  
　　cos（π/2-α）= sinα |`wPbS{j  
<7"A (xa!  
　　tan（π/2-α）= cotα :V0ihLyS;  
L~.rrJ2C  
　　cot（π/2-α）= tanα |4}_|}\x[  
uX[D M@O  
　　sin（3π/2+α）= -cosα @L\Q/[9  
<MJ' CxdV  
　　cos（3π/2+α）= sinα B]:]HVCw  
]+`I?;o\*5  
　　tan（3π/2+α）= -cotα N9jZqukf  
+=I'"Ugyd  
　　cot（3π/2+α）= -tanα X"Ma Lu  
@HEH~\a]P  
　　sin（3π/2-α）= -cosα (ZJ-$  
'4Ek!Zy@  
　　cos（3π/2-α）= -sinα \2z)"r2  
RR&/e  
　　tan（3π/2-α）= cotα 9u@["Rv  
4[ aT 8  
　　cot（3π/2-α）= tanα G[o>Zr'1O  
6A\z_1W}  
　　(以上k∈Z) Cxr '*@f  
v !QdX#W0  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 PXlz@[&  
}Y|03V'  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = XLM>/W)  
#Zm2(c  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 7vA,4zEY  
a5A}!K `  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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