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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 V<K@Ii)*C|  
R114^"z#>  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. _Q=yx|  
K5tmN"FM  
　　1、三角函数本质： ^Z>3uWe1P  
vsMfw4_  
　　三角函数的本质来源于定义 NFE"f#E(  
r78ga_g  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Gl gMfe  
ana t;D?`  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 wGUua l-  
kc=6* z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： tj/_Def  
WIUzr  
　　推导： UI+&@  
N>r buB&  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 \FuMv9k  
Bw5|\r ?  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) )qT>' T:  
_~B.kKW  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) XAScC{ I&  
{b}"is  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 a*IhP   
6v]hGDxkz  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Xsh7""@W"  
+G+|qC  
　　[1] j}hYk>~  
hB (}|  
　　两角和公式 .ha>%-B[  
Xp~98N5  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB t( xGE D  
PpTs&N $  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  pC_c0u #  
S}ls{+^d  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 5R.;GQ%  
?u0.\=  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB \{UC4:;Z  
@/"E\oFq]  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 4qDx)Mcve  
lVhU//)~  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) fid4rU  
#dQLqY,  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  CMJ0 {  
_\.$\%zqj  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Z dU>=c  
A@-E>CU8  
倍角公式 %o8nm.f  
B"Z %_wh  
　　Sin2A=2SinA•CosA GvE]:{z  
cAXqs*0 y  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 T`fFAYSb  
+(,11e; }=  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ` 5\j2-\D  
,)!pG  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） #B9t;L9N  
*fTT)| G  
三倍角公式 kZ-{p&tI  
XBPOS+LHZ  
　　 K-+g"Z[hH  
#\vg|9|/6-  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) lf?pUoO<R  
oQC:.1Sl  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) bRz/N~  
:wm76w9]-  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) L V+X DL,}  
/`+Y%-3N  
三倍角公式推导 ; 0$#H;  
T jL~yN H  
　　sin3a ;y]AAwr54  
jwk;5 L  
　　=sin(2a+a) ZQKy!1k'.  
c'^* i`r$  
　　=sin2acosa+cos2asina [;k"rXN  
N2uSq'  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina rIok{[1^`{  
phIV]'Vvys  
　　=3sina-4sin³a P-QYJ$GS  
$(zS h3  
　　cos3a Gb#7"-<@;  
h;}E{=  
　　=cos(2a+a) 4<q/"x9m  
60} vA3+  
　　=cos2acosa-sin2asina /N _KKD  
Z*KJ7Y5I  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa @+.s(ap  
QRdb9jY  
　　=4cos³a-3cosa _p 5l*.)  
`+-8KR   
　　sin3a=3sina-4sin³a 7CP2c [8  
Wi6&|Fw Es  
　　=4sina(3/4-sin²a) Tuo5bqyr  
B uQ7I[  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] MrnMj%y5  
+@tHpgR  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) UvtXp}Pw  
'.~$`?R  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) u}K.Ytp0-  
(m|p  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] V#sj]4   
JM8Q MR  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) SR]C~_0o  
.6,K0 Un(  
　　cos3a=4cos³a-3cosa jE[{G<% sl  
@%PTJ}dLa  
　　=4cosa(cos²a-3/4) nCDyCG<(5  
!R%p9X1c  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] md$LV|FN  
=FX&2p6  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ;9Rj`Kq  
c:|/|z20b  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) A JVh 2;RW  
'%Vc""IBZ  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} .uW[,L   
C }Go}._wj  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) H Ga:8rs  
}T% AUS_  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] O5M\AP  
OR_/0_f  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] z+Z '!7hD  
) q=h4h  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) /LtVN]?  
yd0J\lZJP  
　　上述两式相比可得 ouTQ<sO=L  
[U7 /iH>  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) COGZT@L`  
g-c,,  
半角公式 -/>T?  
EVFLEv^  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ``rXE$R  
T `cv674  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ,-QA!u  
TPR&!`6Ou  
和差化积 1gyMd3K0  
=p7-I&MSI  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ~qoI)MOP  
*&C5]x r!  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 2IO9W  
=J\sz<*iV  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 60q%Z  
3ED\-gpx5  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] %Lf[ F6  
`KBTv>  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) cT[|7Fg  
KmBG6A  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) |kJYynpEp{  
PDr+?yznf  
积化和差 G$tyC  
&]:]G'AY  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Q)KO)jb  
>k20/DG  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] <5d/2e+i  
]& _n\k4  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] WUk3+DP%  
[f[+#sH  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] B"h [&1  
EbwR>Bz  
诱导公式 Qmx@ddzO  
f07Aoya  
　　sin(-α) = -sinα l1ST";lj&  
v!fp*]]Aa  
　　cos(-α) = cosα (Y0Nb6f0m  
yo3TY[j  
　　sin(π/2-α) = cosα |,oB;UQ[  
Z thB=gc  
　　cos(π/2-α) = sinα 0+?a,db  
_M[A=-},  
　　sin(π/2+α) = cosα "_!gIq  
G$\chydT  
　　cos(π/2+α) = -sinα 1syqBEq{^  
iv%`tPz\  
　　sin(π-α) = sinα *Fj![Kz#U  
F>3 d6/.  
　　cos(π-α) = -cosα @ZB( 7@n  
5tpEs  
　　sin(π+α) = -sinα q"- Y"8o~  
S`CYbk7mf  
　　cos(π+α) = -cosα G4zb Xk  
F+K"=+ .8  
　　tanA= sinA/cosA ,XY3&_h$6  
Mw}j["=M>,  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα  |}I_~  
na-HGzLl  
　　tan（π/2－α）＝cotα !zR8&yx  
P--/} m|^c  
　　tan（π－α）＝－tanα Y;nQ*=  
JR4>;$!kL  
　　tan（π＋α）＝tanα n sJYc"u  
ReS[G <  
万能公式 ~6vK@KP  
V%!G{"\a9  
　　 u]K;`N?  
8 Xi|  
其它公式 fcpWJ%ac  
} 7!KTO  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 2 <p$7SO  
chG./_  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 WecS 3X  
;Gy-b(?Z,  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 b VOu/}|  
TENi5R>|  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Nj2"Ax^  
jejbd=K9^  
　　对于任意非直角三角形,总有 (-R?fRc5  
V1IwXetc  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %51S%W8$*  
H8MQ5Gt  
　　证:  pG!"  
Zo<{vA| b  
　　A+B=π-C O4Frxeq=}  
bL#"yi/  
　　tan(A+B)=tan(π-C) $L0O$y6F  
b^N+_wO  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) g)IA?+lX]  
u^]\+,N  
　　整理可得 *uUs6l<-QN  
mu=blA'  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC T?,.Dg@C%  
Y2B+ 7  
　　得证 vVON?^"z  
oXRLf1s9m%  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 TR1f<7>C  
tcV&LBI;[[  
其他非重点三角函数 |B={4o  
V$X=x"aP  
　　csc(a) = 1/sin(a) ^'J*] {  
}G[ZvxjUx  
　　sec(a) = 1/cos(a) d9uEH nVY  
]a-lM0JSX  
　　 Ord?~q%dm  
Q; dH'$V  
双曲函数 vIXo*BVN  
r42&s  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 t jA&d5  
=341cS&C  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ^%Ul7<  
l{_|QzA  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) [L=sp7TF  
EF~IaaK7  
　　公式一： Jao;dda"i|  
TT)S ]$M  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 8]q`Sc w*{  
uKRDBaiYp  
　　sin（2kπ＋α）= sinα S"Dhba=  
+:47kK  
　　cos（2kπ＋α）= cosα >'^PB=  
u^4%We}e  
　　tan（kπ＋α）= tanα ~$ #in  
U{}WqLc  
　　cot（kπ＋α）= cotα ^!r/-DY  
\y ,b`v_  
　　公式二： SvJ4PR3b  
j^{)|51;  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： RT2N`pd-nk  
AH: +1Yo>  
　　sin（π＋α）= -sinα q~o<fc\ceg  
/6*~Z\nQ9  
　　cos（π＋α）= -cosα uKN6#O"Y  
$d vdpm  
　　tan（π＋α）= tanα XZ= 6?MA  
;UY0+k4Hn  
　　cot（π＋α）= cotα EsX2~_+  
Eh uIX/}30  
　　公式三： 8YZL?tZ6;  
*#$%~9  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： kN2vk5H/J  
,}zl-0v  
　　sin（-α）= -sinα >8_QV kJ(  
r,IL"-6..  
　　cos（-α）= cosα V9 *b fcC  
DLMLqsW?  
　　tan（-α）= -tanα Dt:J(hW  
N?}UFo9lU  
　　cot（-α）= -cotα n$@t1n"[Z  
/@nc5{y  
　　公式四： ZhGaCGpS  
aTN0im}+  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： *aj'B=P  
n=`ym" c  
　　sin（π-α）= sinα cPgGK|  
emAK)Ry  
　　cos（π-α）= -cosα O1CGu3  
qVG3 pH  
　　tan（π-α）= -tanα C5(+12Ok"  
Nv@|=Wc  
　　cot（π-α）= -cotα &0/:GudXN  
iL?@6. r^  
　　公式五： N<Lq+ +A  
/,/+V((xE  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： +J2<|_9S  
6I;hPX  
　　sin（2π-α）= -sinα )rQH#   
~b2%%JKT  
　　cos（2π-α）= cosα %ygjl}  
\>5 <(#$  
　　tan（2π-α）= -tanα .q\MJR  
:P <{:"}  
　　cot（2π-α）= -cotα q.QcWs  
^k843}L1G  
　　公式六： h:%%H|g9  
L7Es@SSB  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 2h5J708y  
k6QQ76XP  
　　sin（π/2+α）= cosα  AE/]<d  
Xf!>"7Nl  
　　cos（π/2+α）= -sinα n/++t  
N^B-"%]  
　　tan（π/2+α）= -cotα [/Wm"n~:  
XA H*A|1L  
　　cot（π/2+α）= -tanα UUM`!|l1  
5[brG. ]Z  
　　sin（π/2-α）= cosα pS$J -d_L  
O; {(*d  
　　cos（π/2-α）= sinα 9mV:v1i"p  
*SsA(k;  
　　tan（π/2-α）= cotα p05zw#/>o  
KmcmIp  
　　cot（π/2-α）= tanα /%6 a}  
2R;-tUh  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ! ~zH +Pb  
>Gn&CG"  
　　cos（3π/2+α）= sinα )t71LqjD&j  
%g Wm  
　　tan（3π/2+α）= -cotα QSR]Kzf1  
7 J#MQo1z  
　　cot（3π/2+α）= -tanα dWs-d m}  
'G .U1z  
　　sin（3π/2-α）= -cosα  pB ^`W  
]$3K|/DCn_  
　　cos（3π/2-α）= -sinα R]t2` _ |  
)r1'5ADp  
　　tan（3π/2-α）= cotα onTUE<v#  
J\TZL;15e  
　　cot（3π/2-α）= tanα F+4\g=0)(  
UXadDH  
　　(以上k∈Z) x<BD2fo  
94E7iBxm  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 q"AM58?LX  
FU)'HP^`^  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = \Q3-#Pt [  
q,a>}1U x  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } U"vUdU]  
.msj a  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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