三角函数内容规律 kO?>bU-:k
:,OGJ[a;]
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 9'Sy*i@C_
9S9|9
1、三角函数本质: &KT^
\Hh^
uax:n bq
三角函数的本质来源于定义 =Rz0q-x
.j q"w%Z
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 69mN>Z3i
|O,TqFr_
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ,?9#5:uO
(L1.1}~$
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: b8}$b
=
jw.Y:d4b
推导: vx^csasS
`Ugc0S+Fy
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 }~2bPS8#
"I(,*'\F4E
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) H`3=\ .v
B"00?2xLg
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) y_D#cwz
tAGhC0S5j
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 iDI{ vfCXe
EzY7U}h
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) TzN9\7/W(
P\u(bjT.
[1] I~
%()|2e
S:LXx
两角和公式 KXLgie4_
6{]:)1p$xK
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB )cu4g a
V>CKI4#/
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB `0=99qR21
olL_4gCw
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB W
#dhBz0Qc
R%=e!=;U
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ,MlR}Ju1
P^Dl "f:8
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) uk}8PWg
.>[
.4
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) C4&RsNq%
tDP4l#]ZW
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) ?7 `/j!
-
^i+!
h
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) "~H\HbA
gEE5LH
倍角公式 O|.%$QJPc
`Wh[LU@Y[
Sin2A=2SinA•CosA uf!2
\Wn%O)
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 mGT69b|@
kmYP Y
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) 8InZk7Tut)
w[(gEZ
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) u`DTB0Mz
.5vM4S:
三倍角公式 S1ju|ftE$
t4n HcF
A\h)#I(
_Fg2[ev9
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) +"NtuX:_
/eYq]_GN
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 3e(8Qgu*
z.g`. ,cT
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) _CdTR =vo
@Hi %s ]
三倍角公式推导 (W;U&0(
26
42
sin3a l;kI?gn$W
vUotWJGI"
=sin(2a+a) m(z
T
|0>
IVJYz=w(
=sin2acosa+cos2asina L: YDdV
*=bM,$odG
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina )6xZjN7]
o}$8H, )'p
=3sina-4sin³a @B2mn;_[
TYs"d,_l
cos3a (~j 4N` \
gi`o<v(JFb
=cos(2a+a) <~}]2e
7
,{[y7$9
=cos2acosa-sin2asina .FF?o!+
4fu^5RL
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa !@o^*e
Ui (J
x:
=4cos³a-3cosa =/#2,d
SGE4:/U
sin3a=3sina-4sin³a z9,Ah09J2
hw-fHmtNBM
=4sina(3/4-sin²a) C2.
85]vK
m~uOHs#C
=4sina[(√3/2)²-sin²a] 4$4ur;U
!6LBY#&x
=4sina(sin²60°-sin²a) ? ?,aV`
4-h|52gV1
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ~2J7J~><r:
-kEN8mu(7
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] `F8y]T
i#US{KX^
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 9*Db'=(
7@)@
cos3a=4cos³a-3cosa HiMPxNN)
lGwJseF0v
=4cosa(cos²a-3/4) q`}>x]
?
U9C%BR }
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 9DJf.6)s!#
'u~BM30v
=4cosa(cos²a-cos²30°) e>bS=+Mrl
g+V<9Wa
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) dZ{_G`k
E q<r;Lsw
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 4 s"Soj`z
nm6R6Jd<
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) L V^kOwcI?
M%dNs"H"
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] T+8!Evm
8=k6y19
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] BvvV}UO8
xQxuQ
A-
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) wn)@co
$U*<}`kD{
上述两式相比可得 Kl7F
M4o
r[!Aen;
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) +wtQ8rs`<=
HYe9)&1f
半角公式 gV;y[80
uS^/rjAw9
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); iyLtCFq2
SI44C
13
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. tz^.K 1
X[b=@
和差化积 @\KwB*Er
-dS0P
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,I ,vF1
k_1_TdJY
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Q^P`h(>6U
=$?w?
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] b,PI
F0-s.]A
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] SdAS@;bzj&
rA%yOoY
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tZ,r0rp
ryp` h)?
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) lWVrE\2U
zN0SY,
积化和差 ^%36|,>o
U-#y^V1
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] RKn4"g1Ie
B8p|*U
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] H| 2/R
DZuj,n
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] .4uR\X*
??rXZz
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Zqeah<I1
zaPKaJ,*
诱导公式 =q?nR 31
>4@dX.C`
sin(-α) = -sinα FvqfhDZ
@{Ij5m{
cos(-α) = cosα 8ld`Dh
v_*lBLW/
sin(π/2-α) = cosα zPaSrn!K
#.5r
yP#
cos(π/2-α) = sinα o9/k>z'a_
s'Yk *B-4
sin(π/2+α) = cosα `+8%|'1C
M0YUP7H|
cos(π/2+α) = -sinα 7IWX<
j<V+
z}Lh
sin(π-α) = sinα 5I\;i:hI
G7{cl2
cos(π-α) = -cosα Q%jj;E k
ym&9Fke
sin(π+α) = -sinα >k.4/Kg
s@*gW_i
cos(π+α) = -cosα hg?T2ALu`
*}U8#sH/
tanA= sinA/cosA T;Ecx4HX
x06r>
8
tan(π/2+α)=-cotα :YW^u
NYIPwo
tan(π/2-α)=cotα eR.
^k%zH
g#% 8e
tan(π-α)=-tanα Ag [\g89
QpNkt5%
tan(π+α)=tanα J!k5Ak M
w\fySM+-
万能公式 [c'Z@^mZM
=Mfm#b@O
)8bNMd~
.P@j9jCv~
其它公式 y_?;F`
i6M"VWo4!
(sinα)^2+(cosα)^2=1 QlrZ34OR
&F+K|
l
1+(tanα)^2=(secα)^2 m-2lP
YI
V}pEYz'a:
1+(cotα)^2=(cscα)^2 La9V=?K)Q
fM4W1h
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 qyo>=71
Z#iK/C}Z
对于任意非直角三角形,总有 *NZG(zXu7
I}gC S\>R
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ck{&GS@!K
{:p6jWn
证: \QO1h_]
mNJDev
A+B=π-C j-w|sSs*
#k+SVf0rv
tan(A+B)=tan(π-C) HB`C!nX
Yu4 .d2_]
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 2mf~Q4E!
E>`/
,
整理可得 6Gxi@O3nG
~'mG^;B_
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ;xd*W~
7l9_&U0=
得证 +d9!|.Y<
A}YO0"U]
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 F>sd\v}PQ8
; yd*:bP
其他非重点三角函数 ^X$s=
Ol
suj1ilH0y
csc(a) = 1/sin(a) aqp3[L
xn>pzzM2Co
sec(a) = 1/cos(a) 7FpxD.sX\
w0Mp]&/$]I
_VqODVz !
3xvKaTty
双曲函数 %
=J>yhv
>VP7Htwt:
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ;;>O^|A`
^
3 `=pU
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 M}aU'D8
IJI=BU`L
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) W`VMR[w1
iZ:vBgmg
公式一: ;%
g2/s
p7!.VPw!
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: i#g9u
02=u[
sin(2kπ+α)= sinα y.sgM=;
WAFyx)Bfl
cos(2kπ+α)= cosα >::2e"WMb
.`E7E
tan(kπ+α)= tanα i#Pc&^BdC
LU3NYHVc
cot(kπ+α)= cotα K tI9OS*
c`
iA=^g
公式二: TFfIb8s=R
|q/H2ba
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: AbD6f]e-6
Kd|4bz3
sin(π+α)= -sinα Y0NA#:[1&
6lM P$!+H
cos(π+α)= -cosα '&/ se|
<'=>Xv<5
tan(π+α)= tanα *1,,bcX
n?.&*
cot(π+α)= cotα s6
CP7lp
$9}"eVQ
公式三: HcGIOp@xH
L]d@H'w
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: R5mpf2|
h(\/zLYE
sin(-α)= -sinα n)g<-R3e(W
0B}G@%Ukaf
cos(-α)= cosα iom0NqHE*
=iR<uI@
tan(-α)= -tanα R|TESAE
~lWL })D
cot(-α)= -cotα PWPw:?1nZ
bB
-i06Aa
公式四: "WYqw\`
kG(K>l/
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: g?3
NX`H
)@$Jh>|f
sin(π-α)= sinα AxfD,'<$
E
U;}1<
cos(π-α)= -cosα 42JR&PBS!
iug;K4@,s
tan(π-α)= -tanα TA2J,
r\X
:yF=$[qx!
cot(π-α)= -cotα R'dFplmu
/Uz|Szt!a
公式五: $fRC$
ZQ5^K>>
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: e}a~G 0Ur
+*%eopQL7
sin(2π-α)= -sinα :@g{H
.j'D|*2
cos(2π-α)= cosα `-/VQ
JQ[1uH
tan(2π-α)= -tanα u_ 4</ 7-
/uI`y)r8|
cot(2π-α)= -cotα O/r;VL ^
zG%I^ )'
公式六: $eg;U!B
:#*2HxbDwU
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: &h>]]hS
rw]+r
sin(π/2+α)= cosα z0bt. %[
g-L ? !
cos(π/2+α)= -sinα hV6.\O X
$zB.> Z A
tan(π/2+α)= -cotα -*?x+ _ [
{p ~[lVP
cot(π/2+α)= -tanα 2C}3F2Q,y
Sv!ptrV
sin(π/2-α)= cosα n~an _iv>
bmv8dy
cos(π/2-α)= sinα |.C_eb
-.}|_>St
tan(π/2-α)= cotα ;PbJ+t$
ub3hh\q
cot(π/2-α)= tanα a7tC!LU7Z
:T2N"Qa
sin(3π/2+α)= -cosα xo9$D\
/|2oin&,3
cos(3π/2+α)= sinα #| 9hkl
'BlF1q
tan(3π/2+α)= -cotα 8GIuJ #
!t_JX=
cot(3π/2+α)= -tanα tXU Nai6
T-oxuV~
sin(3π/2-α)= -cosα !_@"rrZm&
\j>1@2
cos(3π/2-α)= -sinα KA{rKNcOo
0$T=&5>
tan(3π/2-α)= cotα eEn0RF
xg,JEtZY
cot(3π/2-α)= tanα ;.";p[cv
zXy;AawL
(以上k∈Z) ]qrLd z[o?
dw(|A:%#w
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 J7Y;Pm]
X@Y&7?.(
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = {gkHV(
I}A
Sw!/=..
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 42(f#
bAwYddI
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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