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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 J)f{hFRSD  
VSCp/Wkm  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. >e_*~T%  
7g o<b2_(  
　　1、三角函数本质： Of9:_co~q  
]5NUv]DI  
　　三角函数的本质来源于定义 0iGc\I}0  
uOUQ]7*28O  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 -;$wQQV`  
* {~0k8  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 >[%5^N$<  
5| )]wbXK  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： u1 P)kJi  
d09I\  
　　推导： `<5*GcXl  
xaD;+K`  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 (QZ" SfJ2~  
TK]J@Hx<  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) WAK R \`  
Q.4F`  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) -%*WCF\|  
.J& Z  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 0D uEr  
3au5;HsZ  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） @p0%A|  
XVHi%{9  
　　[1] |W=*5 2L'  
'[pF~b,?D  
　　两角和公式 {gOW=r_m~O  
MF.agp)DHv  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB s\p:.g4  
x5 Jy_6  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  <u6X T 3  
Ra4%;)O@  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB +iIJK!!AB  
Q@ !Le>  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB DQrh57,I  
j;) 5Sy  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) {J?yCJD  
V_ZW nmrR  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ;-QJR_  
r'0y t7  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  9xB3w`$9`  
6b1B\Y 6  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) J:/id>y&  
nV Nuq  
倍角公式 x7y[  
q%o]d  
　　Sin2A=2SinA•CosA fGb]:heY  
Kt9;.o*  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 KCfBBX  
s0 Ja]I  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） @%mxmUY}b  
v +/| }  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） a:am]q+N`  
`^E\2-Y  
三倍角公式 !H39+\  
`' 6FvW  
　　 4Yyy@c W  
G;A[~q  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ,la%QqE  
S{ |$k  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) VQ&6k#nV=>  
~#J!M.{_  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) jC EN} K  
DtFp\Em0+  
三倍角公式推导 7_U#K8^)e  
f!n8!t  
　　sin3a "l:Ho s6  
fR:]Tz&XQf  
　　=sin(2a+a)  r4TTckX  
->_!ZD03  
　　=sin2acosa+cos2asina XXh&fI:9  
.xPF+oY  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 0:b7CQ6UP  
Ai&: qTH$  
　　=3sina-4sin³a Uj$8,a'  
;# *A&`  
　　cos3a 2o<zSV !  
X#4Pu  
　　=cos(2a+a) }c'dfnI;  
eMpPz=f  
　　=cos2acosa-sin2asina i{ Y,EXdBK  
yu'5Q a  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa tx.|.qqY  
s *Xwl2  
　　=4cos³a-3cosa oz%G{!"S  
,o'[ V7  
　　sin3a=3sina-4sin³a I@nt2#N  
T,tfYW@6p  
　　=4sina(3/4-sin²a) ("x*N7\  
K@^5%x_(K:  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] gS;0u  
IB  ;Z%<  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) saSq5:l  
@W.Pe=  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) % `6E7^M+{  
;p .Q5*  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] "<.sV> ]  
GAz PB  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ;]_LKycO#  
.MTzf:  
　　cos3a=4cos³a-3cosa q|FTKa  
%@5\">'  
　　=4cosa(cos²a-3/4) #C[4&A>  
9@ ^wo  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] $!a/J  
IJm{"[bl  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) !cgbz&wK  
nSg] nk  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) .sr;8^`J  
#]x[Z^oj  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} QWT^nv@  
=ygN$CUe|  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {YwU &jY  
Y,NM\;i)  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] h]b+e@\/~  
Wi}$)` %|  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] M/ ] 0$  
#\o e-O{4e  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 2v;jmPDPO^  
e"G|xsQ2B  
　　上述两式相比可得 4rI8cQ5  
Il5bQ?r<h  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ]+bI<zCSrC  
=mMp~\5?  
半角公式 {3vy8} aJl  
NscU,>hh  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);  Ite>H^*  
5i"Rk#5  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. iXZ{zhdE  
((-#il5g  
和差化积 btKB/0fnI=  
jJe:F~  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1N?'Oq1ah  
mKS\FV\F;  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] H 5chkUg%  
u th}b=S[  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +'AK*L'  
vAI+1/E  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &d(dYyg  
R-~XaB  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 9z2@oro  
;hkd" ]!  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Yc_IaL9"  
QkD'TfF  
积化和差 c VVx!  
dQ``yDDv  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] EvNA;x'  
9&3)Go|"6  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]Vv[ Gc  
UK(hW$  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Pz^4j j}  
`{VAL>r=,E  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 9_G$]y  
H#S3fpc  
诱导公式 bdF!$  
Bti/#H @c-  
　　sin(-α) = -sinα r/. E_  
1]UGdjh  
　　cos(-α) = cosα gio?qP+{  
| _'|6Z   
　　sin(π/2-α) = cosα 60 fL t{pF  
\)CE*K!iq  
　　cos(π/2-α) = sinα {x.[N} P  
*ao3  
　　sin(π/2+α) = cosα &o+kN=  
v~Dj(r$SH(  
　　cos(π/2+α) = -sinα 3"BZcZeco  
<<_5vE y)  
　　sin(π-α) = sinα `cx}C {#  
5,B+O1  
　　cos(π-α) = -cosα N//TW<J<`#  
RG= d7{7D  
　　sin(π+α) = -sinα bmD)Efa{  
}ItGO 7  
　　cos(π+α) = -cosα >` d]O-@{R  
"q.up  
　　tanA= sinA/cosA gQ24   
BVU e 6lg  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα w]tuiO'|  
AJ`Z]?  
　　tan（π/2－α）＝cotα y&{[;pCe  
$83gg$l  
　　tan（π－α）＝－tanα Ry2ZeH}*  
Mm )!  
　　tan（π＋α）＝tanα H#T(dh0r.  
NDMO8WI4\4  
万能公式 7 TTeJ|~'S  
qGfI&z)-A  
　　 @%S12  
},G*+-  
其它公式 <LRQ0)!z,  
Iw|y 9]JU  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 =h{vi"z<*A  
^  9F9g"  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ?(@OP `  
:P"iuizm  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 G:E4OfM"  
lyBi?:jiz  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 EeYD_kjC  
2Y~75}]o  
　　对于任意非直角三角形,总有 /b# <]%)q  
LarlQD>|  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |8C:^<A\  
SRZA`\@"  
　　证: K%Y4:4?j  
iUcF1F6  
　　A+B=π-C (,!x xBs  
s wT&L&  
　　tan(A+B)=tan(π-C) )'h>a4Y{t  
m=7@;dfcA  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) %(RcmY  
{Vry| A  
　　整理可得 H(ZHaXJW  
*g':-_XOu  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC "ICE69`  
2{ M[%x  
　　得证 bUW:Pjk  
rNWV$rty^  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 2q`v.*:  
>% 2wT9X  
其他非重点三角函数 =pY*9e^  
|h,T-7  
　　csc(a) = 1/sin(a) ,K\YvoAK=<  
QE)wiTbg/  
　　sec(a) = 1/cos(a) 95XDTK<g  
Yu_{.%[@iJ  
　　 .y dEfo#  
V(qAkxr  
双曲函数 `A4 ]cCI  
GHOk`2@fX?  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ##3'}Q  
Z+0(f\<1  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 & )D ;lP  
T6$& Kr  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) m3:8eG<_  
t>,o 3Y  
　　公式一： B$WB  
mw5Z?  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： }/kwqCxx=  
4 ChG]l  
　　sin（2kπ＋α）= sinα M tlraB"  
+cSY> p}  
　　cos（2kπ＋α）= cosα l2AB7X J!  
Rc0[! j'h|  
　　tan（kπ＋α）= tanα #f 5Jb ]j  
!@bn]#(ui  
　　cot（kπ＋α）= cotα w;,{rq  
1bf)Mt/,K  
　　公式二： c# kW+YW  
b'vT|}bY  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： i+etgh,  
lk1TH-K6m  
　　sin（π＋α）= -sinα DE:&c9I38  
A?k Ye(  
　　cos（π＋α）= -cosα 6vIgJL  
-8|6 s*9A  
　　tan（π＋α）= tanα .(plMt  
i*h![t`!  
　　cot（π＋α）= cotα >su4?j~  
aZDBijw8k  
　　公式三： & @h]&  
@5E^}]  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： I}G`\AS2%"  
Cy.K;B  
　　sin（-α）= -sinα e c?pzA[  
OJ;shijgvh  
　　cos（-α）= cosα 4#aPt-|{  
h8(S.NRt;  
　　tan（-α）= -tanα X +i,|&,w  
ys~4</}.  
　　cot（-α）= -cotα Zg EK"di  
$wi*t(FS'  
　　公式四： AhONBK 7ap  
jJ>!VX sa  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： J'(NL{[  
^&|c\qqiR  
　　sin（π-α）= sinα z9:oOfdFq  
w/s)(@  
　　cos（π-α）= -cosα f}9DY,P  
o}"&Bym:  
　　tan（π-α）= -tanα .('v|pM>  
<,BxJ6;  
　　cot（π-α）= -cotα I_fa<  |  
hWa %"Hn  
　　公式五： C %"O&0W  
"4+}v-U  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： cFW= Re6  
{!Hm#.  
　　sin（2π-α）= -sinα :v z+<;@mL  
5I1AdS  
　　cos（2π-α）= cosα VB*)q:D^  
7jtX f,e  
　　tan（2π-α）= -tanα Ub >e \  
|RKS5Fm  
　　cot（2π-α）= -cotα U ,*h*n  
QrNEAl6  
　　公式六： .i*f LM'  
86@dZ  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 8M'l_ Q  
=~U(T>;,  
　　sin（π/2+α）= cosα ]7n t%*pn  
Xp^]-K0"  
　　cos（π/2+α）= -sinα YeUx,u^ 0  
gs]E;uqJ  
　　tan（π/2+α）= -cotα Vy/F{b kO  
h+j2%R)vQs  
　　cot（π/2+α）= -tanα VeY]1]  
}eHp9:nHa  
　　sin（π/2-α）= cosα %%.a(q<?V  
4, #c|4\?  
　　cos（π/2-α）= sinα :,X5 ]dq  
N%[ )(CnI9  
　　tan（π/2-α）= cotα  dW4; 2*  
} Bpc6(U  
　　cot（π/2-α）= tanα \|gro<a^  
mr6_RBF  
　　sin（3π/2+α）= -cosα `?~\5^7  
bkqD?x:  
　　cos（3π/2+α）= sinα #'W^kr'L  
+_I^&y 4  
　　tan（3π/2+α）= -cotα lxJORf(  
I=_r7x  
　　cot（3π/2+α）= -tanα %THZ/.x  
Y>'>:5  
　　sin（3π/2-α）= -cosα D8-*Z9&|S  
QfcHpac  
　　cos（3π/2-α）= -sinα }}G(z[F   
+8 w+Rl  
　　tan（3π/2-α）= cotα eH%mD+eB  
;"=_ <+~  
　　cot（3π/2-α）= tanα OP&1tV  
<9YXP"Pa%  
　　(以上k∈Z) 'Ii!CvLVt  
hzWP6N>  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ';Obm%S#5  
n"*dkjgr&  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = x0WC>fo7~  
o 6pq"Wg;#  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } KcN DA$d  
T\<XGW}8  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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