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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 4uUP"  
k1vDO(Rs  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. B,&vfi5W*  
:_}3[{ 2c  
　　1、三角函数本质： U&VXJv V^  
i2,1Uk<'  
　　三角函数的本质来源于定义 c9/,J?[Z  
3rdD}:f,S  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 UYc:4A'>s  
m6@*l7qm  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 4n^Jq?x  
}h4S^6&A  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： *B J1d  
.lE.w8w"F  
　　推导：  ~+M   
d<%_|pA1C~  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 E ]@*+  
&c2HF  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) QE7XP+  
70 a?X  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) |C!l|i(X  
KSOb|P<)  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 =k3fiN-x  
7>&%Ywdd  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） _<TZz8C'n  
GF8dpC  
　　[1] 'K"do8;  
PGF3R_OG`  
　　两角和公式 S)Bd}7b#  
* ]i3k  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB xgwgI o  
HN]i#"t  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  DNTegHPs  
P|#20.d.  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ahX=N%c  
{~bN@=U  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB =BED|SwK  
.^Qac[$  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) !5Q*$c  
$G H*A  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 8R~), NCj/  
\Ys' 4S;=  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  sh:=BEs8^  
Dlbq'yn!  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) qNbduTS$  
j)X`  
倍角公式 @Z5oq2Gx  
%c]H?v   
　　Sin2A=2SinA•CosA H<MN8-*  
VlX79\?  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 :<(=zO7?  
SOVG] P  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Me_!p7 u  
s{MYx+0<+  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ,n_1G.*Xv  
JFUuPE R  
三倍角公式 FKf rL+o  
p[7N&;L4  
　　 !JKutO7R  
`,>0FNi  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) hDX'i8  
qW!h;I a1  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) AAozl:k"  
zu5VDWmB  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) yJty/my7  
809x}: #`6  
三倍角公式推导 t"3R-<  
@C@QV7UJ  
　　sin3a <\.~2j  
sP* t!J_DB  
　　=sin(2a+a) n2w0.[ g  
fjwB 6+  
　　=sin2acosa+cos2asina &u/ "9Rd:  
\}-yYJ  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina :j%A+mw  
[gJ<gzG'  
　　=3sina-4sin³a cD8"`2Z  
I?04AID!  
　　cos3a 5Z*(>`8l[  
3zgag`eKk  
　　=cos(2a+a) mBveFW  
R9q}r S@  
　　=cos2acosa-sin2asina ^caM<(.y  
LU|t77%  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa | sFGc  
_Oi>  
　　=4cos³a-3cosa %;!NhwX  
G1 9/;"  
　　sin3a=3sina-4sin³a {`z- OgU.  
YpyUm=zIv  
　　=4sina(3/4-sin²a) }a< |q7'  
P'`<H6  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] fS51"YFLa  
Mf|VMVQb{  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) BG#j<*4}  
QGjQ)VwJo)  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) tp3eT@m#K  
XbY,}ls  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] OO s5 =\*  
vocz#F(  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) : O\g|:w  
,O5%O;y4  
　　cos3a=4cos³a-3cosa z--FJqp|?k  
v%v ~#J  
　　=4cosa(cos²a-3/4) >8_9 bx_  
qTej&+kR  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] BESTq)X   
LWc~G=Q  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°)  >z5v5:p  
S"|"_[ 9  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Ppx;  
4TK0  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ih jT  
V_ R j R=  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) |X`&FQRvN@  
B?_h=j  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] T7D_7vd  
47{_OMg>  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] N 2!)*&'&  
$%G#JDy Ax  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) z-'ZTv}g  
B-F(Kr1  
　　上述两式相比可得 /('4i3Y7'  
Z 9(bNo=  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) B g=.}s  
M26MR0l0  
半角公式 is"w{4]  
CcT;:v:  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); <ZaIVrj  
K)'[9@M8u  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. z3Xx$pj  
0U:ND7:}*  
和差化积 c#IF*U7B  
jWH|F$  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] '#QN8D`M  
b XUAW-'  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] J.*1xaan  
"3E[!Mq%  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] X% xhE@nq  
Z,NSO*[b`  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] a+W?SX3!  
)v#MG/xf  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) {y1'S@o  
0bT[FW^"  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ;'r,1*j  
l\DT )S  
积化和差 yxp>7B  
,?}\/iZ  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] >(y)g#x&_  
i2!X\&  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] k E^GZR'  
^TA{V\ C  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] eGfy i&gE  
Q6&&52 &  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] @k=7>npE7  
%KE$r}PUz  
诱导公式 C.-xn^y  
|pP!DZy  
　　sin(-α) = -sinα D8qpqyk]  
~edN0]  
　　cos(-α) = cosα dH}w3Y  
y| pA/WQ;  
　　sin(π/2-α) = cosα TmWKq3<Z_  
Ts8)5OY  
　　cos(π/2-α) = sinα ]D=S:a U0  
qHQ$F,(~E  
　　sin(π/2+α) = cosα Si=z2.m  
jPg+8/TM  
　　cos(π/2+α) = -sinα iw7&cUS  
ZJ!NfoU  
　　sin(π-α) = sinα mu"[I/F4  
!ip1jn  
　　cos(π-α) = -cosα Em-RsB1]d%  
QGe.i?N  
　　sin(π+α) = -sinα 1?'J (_  
H-`aPwuh  
　　cos(π+α) = -cosα pGOGk,Y]5  
` -Dn+>@z  
　　tanA= sinA/cosA "LV/$|sy  
#$#?M2Y'_  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα #r^SO5T  
kq k3cP}  
　　tan（π/2－α）＝cotα c:e8|  
H4%$@$,\  
　　tan（π－α）＝－tanα hs%MG{YN  
F7F\2N*sJ  
　　tan（π＋α）＝tanα 9gXYpO.K2  
C_W Y \{  
万能公式 V:"L Ha3  
u 1%r}/O  
　　 [LKxZv-  
)hIDgC  
其它公式 {QH hk#$  
(:J}h(_  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 /Q pjyW  
4LA5 Qb  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 N0^*sDq  
i'W+sIgLB  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 XrnlYpa,  
l-/!qFI  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ;qzv1sA4l8  
TnZtTBw  
　　对于任意非直角三角形,总有 GWt6$us  
v[^$38T  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC MM4~/U`I  
Xxs9%T  
　　证: _)$:i\l  
9etM)W3  
　　A+B=π-C `\/j Zc+t  
) sMQLWE^Y  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 8yj}9:  
]Uc9<wd{  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) V x`xzg  
3.pV/ckz  
　　整理可得 MRKPH ,]  
tgs_Zi{e  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ]vxn0'8[  
kni3|D  
　　得证 e#\X%,i2  
/[Bppe>4Q  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 #-P|*" O  
.A~rNo"  
其他非重点三角函数 Ji9bW.M  
!J68Z5z  
　　csc(a) = 1/sin(a) xxl!})06,  
h@IXcL  
　　sec(a) = 1/cos(a) g%YT`b%  
bXI!m?eT  
　　 p<a5"]oEuS  
[=tWL)37  
双曲函数 7nL5^LW  
[6~l09p  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 efLIW2A$  
:A8[<,G  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 x]cG|qefP  
rC.j$  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) eo,O93  
\[PB<4} v  
　　公式一： 'f`$BTO  
BY[8chN!`  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： `f)nCU/  
, mvt|  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ? U*cBs  
>|35B`FOO'  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Qk]=mqg6-  
_FLF*\KX  
　　tan（kπ＋α）= tanα ^mCA*rkqo  
W~Qt/  
　　cot（kπ＋α）= cotα iT So 9  
UouBT!  
　　公式二： ':l ;y)  
<;38S97  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： R$JA+y^W  
%IN'\0  
　　sin（π＋α）= -sinα t9L^ `  
 E}HnZQ  
　　cos（π＋α）= -cosα ^rns5>  
*;Fb40}  
　　tan（π＋α）= tanα >4`VkUg  
4~-#0VK V  
　　cot（π＋α）= cotα 33;t>!tk  
cWd%}  
　　公式三： iA><T%  
!<'j{  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Wet z -U  
oZTJz -I|p  
　　sin（-α）= -sinα Vn]9O{m  
wq1Vh  
　　cos（-α）= cosα qT': i>  
@A3ebt=  
　　tan（-α）= -tanα |Si >C!r  
O0hc*ve  
　　cot（-α）= -cotα 9jbQJ  
0-H{5@Bz  
　　公式四： %/%ceyP   
}#b@es\  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： f!/HGBh#k  
%z1d6!WQA  
　　sin（π-α）= sinα nzPso+ZKe  
2"erv f4  
　　cos（π-α）= -cosα z !0i  
["$+kC;G  
　　tan（π-α）= -tanα )w%o  
#;$c,Qu.q  
　　cot（π-α）= -cotα ^&|V9}esd  
o@)t>2q  
　　公式五： #.mqCv^<  
h!zo<@  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： +0w* r!  
P>|1`^y9  
　　sin（2π-α）= -sinα 8~CPAH6I  
xB7G|']#)  
　　cos（2π-α）= cosα u>?.K5  
*!9&utm)  
　　tan（2π-α）= -tanα e:<L7~X  
l121< me  
　　cot（2π-α）= -cotα E=D9!9  
oUOS%'|--  
　　公式六： 'u$4H2b>/  
+(l l1o  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： C$* xu/gcy  
7hc`0G4q  
　　sin（π/2+α）= cosα rQKI5x  
w/ajf  
　　cos（π/2+α）= -sinα 5&$5z;I  
a-8g!:H  
　　tan（π/2+α）= -cotα +lI'5%vA  
6-H1>_  
　　cot（π/2+α）= -tanα 9?7h1UY_G  
EYStTCM  
　　sin（π/2-α）= cosα #`-a{P_  
69Q4G97B&~  
　　cos（π/2-α）= sinα }W9_B  
?-PZ %`M8@  
　　tan（π/2-α）= cotα M74L%$kX  
*a@kR0L2  
　　cot（π/2-α）= tanα AgIPm{/'7  
6+7jY:d  
　　sin（3π/2+α）= -cosα C?B"O;!qB  
=F-O& >  
　　cos（3π/2+α）= sinα 1:TE1A,  
hV.`CD  
　　tan（3π/2+α）= -cotα KOygz @vL2  
% z~lB  
　　cot（3π/2+α）= -tanα FnC&GK@.  
/EZ|}5)?f  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ;=6SU>  
a m$LFU+{  
　　cos（3π/2-α）= -sinα (j.L+gUg h  
R\XL/%C=E  
　　tan（3π/2-α）= cotα Mf['th 5v  
D!}[M:~l$  
　　cot（3π/2-α）= tanα ,BL+Z%j%  
DMV)1}%A  
　　(以上k∈Z) 2]WCk);6/  
k`H2,E[K.  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 h5&u^8%  
%F|163->C~  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = u[C0H[F[  
ILCXi.Ex  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } MGa6 :)  
b^yYNjj7#9  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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