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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ]'JzyGaY  
LcJDP$DU  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ;W*8G`C  
@/9,65~uS;  
　　1、三角函数本质： Jq<wu(j  
S99\11L#'8  
　　三角函数的本质来源于定义 LcC0|lV  
E 6g~8`Z  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 p;S!-<L  
JH$Jp96a#  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 u@bLro_7  
R%b3v ;I  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： <y9&`k|IH  
'n$ux>e/  
　　推导： ]%Rvp!;}  
Q}@h[m (  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 )Z,VJ?3d  
D;9\\TmQ  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Y\%){dL  
,LC{p9Ok  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) pY-gQido  
1\4G)|~Xp  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 K\jcyxt;l  
j!KL^  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） [d5*HSz6C  
sEJIA{.Y  
　　[1] 7,FOPp0#  
`,/87QgI"o  
　　两角和公式 :1y|vO  
12jQN0l%  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB dy1oxrG  
C-=$:qOY  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  bY.F rAx  
A by`=\  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB zE!wp}i<  
ixH9fM  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB W5$C_ZDu  
Vmy[u@6  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) QezKU#.B  
FVP *c3g  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) aJTq  
`"Xwo|M9  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ,4ht$ooB  
vzOP&:E   
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) MpRpD  
=`A[ej]$  
倍角公式 _XD'Jwk  
J#3M{H.*  
　　Sin2A=2SinA•CosA ni?*&H$`2  
b/2':q+~y  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 S2503!hG(/  
Wd[1 Q"  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） NWsfG9F&4  
'6TCkG m  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） h)D&5  
/0oH]}Q  
三倍角公式 /B=GBX8'  
 )%^2Co  
　　 g-M9D2F:  
bbu272?{  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) $#D p?39  
|\h[rn  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) mUk4vN6  
0pJNeYG  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) :1S5750  
ZUkiJ@A  
三倍角公式推导 .W3FxB  
JV9lHD|)  
　　sin3a `]vgBB{D  
7B}8\J99>  
　　=sin(2a+a) v{8V}   
4%P{xoh  
　　=sin2acosa+cos2asina ';P2W  
{k(Z*eM  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina V ao0ew]/  
&'VUM  
　　=3sina-4sin³a +XI1ZuwB  
)v+ Ndk  
　　cos3a yT++YJ  
(O_!%*  
　　=cos(2a+a) 6.X4W>] <  
s)*2AwD  
　　=cos2acosa-sin2asina )W";IF.u  
YX@!gsYv|  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa aB'xS>j"  
 F9b3rn  
　　=4cos³a-3cosa  OL [  
ca,p2N  
　　sin3a=3sina-4sin³a (f]k9%c  
]p2d\m{m+  
　　=4sina(3/4-sin²a) vZu9ELm  
}.b5j5moW  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] qoQ!O0%Te  
3h:fkU  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) S|0n{08+  
eU .9Mw;`z  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) |S^,.AVq  
_h]\:U7Fb|  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] l%e#1P  
o-}ZR[ *  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) u~%pm]W  
ZclV8)m  
　　cos3a=4cos³a-3cosa |uK\lO  
\|wH]z;  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 7C1~* 6  
@,PYfvSKG  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] F _DP  
{F${|'D $  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) FlT#B)g  
T-Y k1d{  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ;=P+gosQ[  
N)P(_][q  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} %j/\xqcS  
&CT7Q  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) m^,ixdU  
]d5y3v|1n  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] b "V=5i*  
;g=Xem3&Z  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] &.v5D "O7  
z{-{Ut"  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) m 7j9TI  
u21qL 4<  
　　上述两式相比可得 o>SWYCr'  
nfpCEM|O  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) x4/SO>_N  
<H]SuORMa  
半角公式 hhQNL8^  
||7{@LE  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); zwV{V.tx  
B?l*OOg:8i  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. QsN   
]E.X\e;^  
和差化积 Gu\QHNX;  
[],Y "hj  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \uv;X zE  
k0ZqF?b  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] og*?go-  
a-aL  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] A-g+  
cLg!r,b  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] q;Bqr_n}  
Dc*Zn :?|W  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) jyE^W|(Hu  
hg%[cc 6  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) @T$B2O3  
Y?eM%CG6  
积化和差 fTAB?]2  
`!_}UBr  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Y|i!M  
ihehM  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] @:ZgXY|<  
ug}2>a9  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] uSEes]KG  
Y. o{  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Q%[6 'VYG  
$L8vhzA@  
诱导公式 DBzOfd  
0  mea`y  
　　sin(-α) = -sinα ,)]6mISw>  
\' @H  
　　cos(-α) = cosα ['!&H$  
=v?B`}O}  
　　sin(π/2-α) = cosα j >;eL8W6  
1jK{)Dx_  
　　cos(π/2-α) = sinα bmJjD@gX  
p )_Az1' >  
　　sin(π/2+α) = cosα R'"Uz7  
[tuhH!2j  
　　cos(π/2+α) = -sinα GzWYmI8-me  
, PkUPdm  
　　sin(π-α) = sinα Y|R_+ooR  
+d&X qcIi  
　　cos(π-α) = -cosα Qmb_V b4,  
'' v Q.q  
　　sin(π+α) = -sinα -:Q_:mp:  
C?<O23n~8'  
　　cos(π+α) = -cosα ss &mqmE&c  
J)"ns5r)0  
　　tanA= sinA/cosA kmu\vyY  
z,Jn{,$*>]  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα oLhqF>*  
|B4;!Y:2  
　　tan（π/2－α）＝cotα <k\y  
,-:]spr  
　　tan（π－α）＝－tanα 26_M '  
;9,e^BGp  
　　tan（π＋α）＝tanα u /*~u  
bw>y u1[z  
万能公式 J&]O#@\  
pcml)7V  
　　 4d2Mc ]  
eB)XH$UQ  
其它公式 bAG9T}`%K  
Us(ah6<<  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 1g Us\b4  
#?~Y,}k_|Z  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 4&O/x  
"vU 3 zV#  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 EsPg'd] 1  
;e%!?s4"  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 n:pDYD+u  
bkE>~@*|-  
　　对于任意非直角三角形,总有 &1d&k%|`  
Bra9p-  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %EFc7l%  
[X_XaVK`  
　　证: +e&eJ~  
 !Uv _h|  
　　A+B=π-C t4(z?Hj3|  
WZg^ :B\  
　　tan(A+B)=tan(π-C) bM6:.j&,  
~p}U!@;.0  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ^+pw{c0%#  
y%G'B:=2@  
　　整理可得 1[p|g  
Rz,8ASby  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q4[m_Q|  
:?V>@Ml  
　　得证 3kZW%^%  
WYEaFu  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 d<DI`jV  
.kfk!7@6.  
其他非重点三角函数 E4bRP&Z~  
}DW U$'u  
　　csc(a) = 1/sin(a) <eD$K:(a  
<\ TbO%a  
　　sec(a) = 1/cos(a) YfDs_aA  
g~$.AE  
　　 5i8Ql5:  
eifeSiZC\  
双曲函数 {[p9ck[Hq  
;0uP4p$  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 IB3i~?2.<  
' EY,fNS=9  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 {Bwaw>w2g  
!IfT=1,#  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) `m_^sT  
Kflomgn(  
　　公式一： ;N!l\W[r|  
h[sG\MCr  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ;jsH &~  
?CI^ r u4  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 2,jK;d=r  
nj NeQ|Lq  
　　cos（2kπ＋α）= cosα sh dloh  
:?d#LDr|1O  
　　tan（kπ＋α）= tanα U8mT66Sh  
x4AiK cdj  
　　cot（kπ＋α）= cotα QR.T_nhPO  
@!yHoxF  
　　公式二： }W Mlh6  
{#J'"* f  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： J@Hz\jG.  
* qX-|L,0  
　　sin（π＋α）= -sinα ]OC$ 2  
hw=0_Ew  
　　cos（π＋α）= -cosα >h/s@4 -  
x_gY>E=|  
　　tan（π＋α）= tanα dx?;TDEUn  
G*G44@/  
　　cot（π＋α）= cotα )s3PEE?4  
u]JoFXN  
　　公式三： 'u OS*p  
eIC{f+b  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 8{ <->b_R3  
,KJV6k2  
　　sin（-α）= -sinα dj;9[6E3  
=-Tqdu 0  
　　cos（-α）= cosα i`ecCu9V  
%;|h[' &  
　　tan（-α）= -tanα m bf Z:s}  
^i&_D'6s  
　　cot（-α）= -cotα p~B Y  
c1fd>W  
　　公式四： C9eNae%  
\ ~ Q]II7?  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： PYOjNUc(  
g7f!5R5P  
　　sin（π-α）= sinα zk&!   
"Je f[*nk  
　　cos（π-α）= -cosα 2AD,;2J&_3  
f9Fph`(R^  
　　tan（π-α）= -tanα ]\CnK$  
|3Az*5  
　　cot（π-α）= -cotα Szw.A  
?~S{X8nWw  
　　公式五： `_HTP3  
^ =& J'  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： f}1,sRg  
x (%U9,  
　　sin（2π-α）= -sinα ^!zV 3gN  
am ~$k+?  
　　cos（2π-α）= cosα {Pb<:'= *  
6=Az[H]  
　　tan（2π-α）= -tanα ZhB& %]q  
P34="~zUL  
　　cot（2π-α）= -cotα ?A_;c@8g:X  
p$3)tD- q  
　　公式六： J %c+Yn  
"Jx_#cbi  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ${c_6'xO  
X[|J $  
　　sin（π/2+α）= cosα y|EL=FR1  
(!F8kHC?  
　　cos（π/2+α）= -sinα TJG\fe;w_w  
3,l=bH  
　　tan（π/2+α）= -cotα e2 ;xru1x  
Bam]Hk}  
　　cot（π/2+α）= -tanα 6{}cEv=!_  
&%dp`8"y  
　　sin（π/2-α）= cosα Q4I k"\P  
_fbem?9D  
　　cos（π/2-α）= sinα "M_i(aD+!I  
c} "VcGj8  
　　tan（π/2-α）= cotα dSyd3{}ITP  
/gP<1:JG>V  
　　cot（π/2-α）= tanα !I NS"^  
v)b ?\\pY  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ?e^}OW;  
9JN;]xEf  
　　cos（3π/2+α）= sinα j<{ v;  
* - 9.U  
　　tan（3π/2+α）= -cotα I`x`i$ c  
<)w/gn L  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Azd"f.OLC}  
%~eMo-"O  
　　sin（3π/2-α）= -cosα k}:0cPK&n  
R*(i*aNK  
　　cos（3π/2-α）= -sinα !K@tRb*q  
wMH-MA(  
　　tan（3π/2-α）= cotα 9J?P8ufb  
m<,8PnS)  
　　cot（3π/2-α）= tanα 2 m6I\MGI  
V)oZze  
　　(以上k∈Z) >a?v3Ry(%  
r3jcUtE,9  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 FR0j7; ch  
>{*%^aU|  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = de 7?H/N{  
Y N&<Ag  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } \ ZPf  
wa5f|~A60  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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