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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 kO?>bU-:k  
:,OGJ[a;]  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 9'Sy*i@C_  
9S9|9  
　　1、三角函数本质： &KT^ \Hh ^  
uax:n bq  
　　三角函数的本质来源于定义 =Rz0q-x  
.j q"w%Z  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 69mN>Z3i  
|O,TqFr_  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ,?9#5:uO  
(L1.1}~$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： b8}$b =  
jw.Y:d4b  
　　推导： vx^csasS  
`Ugc0S+Fy  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 }~2bPS8#  
"I(,*'\F4E  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) H`3=\ .v  
B"00?2xLg  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) y _D#cwz  
tAGhC0S5j  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 iDI{ vfCXe  
EzY7U}h  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） TzN9\7/W(  
P\u(bjT.  
　　[1] I~ %()|2e  
S:LXx  
　　两角和公式 KXLgie4_  
6{]:)1p$xK  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB )cu 4ga  
V>CKI4#/  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  `0=99qR21  
olL_4gCw  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB W #dhBz0Qc  
R%=e!=;U  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ,MlR}Ju1  
P^Dl"f:8  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) uk}8PWg  
.>[ .4  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) C4&RsNq%  
tDP4l#]ZW  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ?7`/j!  
- ^i+! h  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) "~H\HbA  
gEE5LH  
倍角公式 O|.%$QJPc  
`Wh[LU@Y[  
　　Sin2A=2SinA•CosA uf!2  
\Wn%O)  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 mGT69b|@  
kmYP Y  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 8InZk7Tut)  
w[(g EZ  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） u`DTB0Mz  
.5vM4S:  
三倍角公式 S1ju|ftE$  
t4n HcF  
　　 A\h)#I(  
_Fg2[ev9  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) +"NtuX:_  
/eYq]_GN  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 3e(8Qgu*  
z.g`. ,cT  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) _CdTR =vo  
@Hi%s ]  
三倍角公式推导 (W;U &0(  
26 42  
　　sin3a l;kI?gn$W  
vUotWJGI"  
　　=sin(2a+a) m(z T |0>  
IVJYz=w(  
　　=sin2acosa+cos2asina L:YDdV  
*=bM,$odG  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina )6xZjN7]  
o}$8H, )'p  
　　=3sina-4sin³a @B2mn;_[   
TYs"d,_l  
　　cos3a (~j 4N` \  
gi`o<v(JFb  
　　=cos(2a+a) <~}]2e 7  
,{[y7$9  
　　=cos2acosa-sin2asina . FF?o!+  
4fu^5RL  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa !@o^*e  
Ui (J x:  
　　=4cos³a-3cosa =/#2,d  
SGE4:/U  
　　sin3a=3sina-4sin³a z9,Ah09J2  
hw-fHmtNBM  
　　=4sina(3/4-sin²a) C2. 85]vK  
m~uOHs#C  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 4$4ur;U  
!6LBY#&x  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ? ?,a V`  
4-h|52gV1  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ~2J7J~><r:  
-kEN8mu(7  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] `F8y]T  
i#US{KX^  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 9*Db'=(  
7 @)@  
　　cos3a=4cos³a-3cosa HiMPxNN)  
lGwJseF0v  
　　=4cosa(cos²a-3/4) q`} >x] ?  
U9C%BR }  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 9DJf.6)s!#  
'u~BM30v  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) e>bS=+Mrl  
g+V<9Wa  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) dZ{_G`k  
E q<r;Lsw  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 4s"Soj`z  
nm6R6Jd<  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) L V^kOwcI?  
M%dNs"H"  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] T+ 8!Evm  
8=k6y19  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] BvvV}UO8  
xQ xuQ A-  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) wn)@co  
$U*<}`kD{  
　　上述两式相比可得 Kl7F M4o  
r [ !Aen;  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) +wtQ8rs`<=  
HYe9)&1f  
半角公式 gV;y[80  
uS^/rjAw9  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); iyLtCFq2  
SI44C 13  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. tz^.K1  
X [b=@  
和差化积 @\KwB* Er  
-dS0P  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ,I ,vF1  
k_1_TdJY  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Q^P`h(>6U  
 =$?w?  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] b,PI  
F0- s.]A  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] SdAS@;bzj&  
rA%yOoY  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tZ, r0rp  
ryp` h)?  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)  lWVrE\2U  
zN0SY,  
积化和差 ^%36|,>o  
U -#y^V1  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] RKn4"g1Ie  
B8p |*U  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] H| 2/R   
DZuj,n  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] .4uR\X*  
??rXZz   
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Zqeah<I1  
zaPKaJ,*  
诱导公式 =q?nR31  
>4@dX.C`  
　　sin(-α) = -sinα FvqfhDZ  
@{Ij5m{  
　　cos(-α) = cosα 8ld`Dh  
v_*lBLW/  
　　sin(π/2-α) = cosα zPaSrn!K  
#. 5r yP#  
　　cos(π/2-α) = sinα o9/k>z'a_  
s'Yk *B-4  
　　sin(π/2+α) = cosα `+8%|'1C  
M0YUP7H|  
　　cos(π/2+α) = -sinα 7IWX<  
j<V+ z}Lh  
　　sin(π-α) = sinα 5I\;i:hI  
G7{cl2  
　　cos(π-α) = -cosα Q%jj;E k  
ym&9Fke  
　　sin(π+α) = -sinα >k.4/Kg  
s@*gW_i  
　　cos(π+α) = -cosα hg?T2ALu`  
*}U8#sH/  
　　tanA= sinA/cosA T;Ecx4HX  
x06r>  8  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα :YW^u  
NYIPwo   
　　tan（π/2－α）＝cotα eR. ^k%zH  
g# % 8e  
　　tan（π－α）＝－tanα Ag [ \g89  
QpNkt5%  
　　tan（π＋α）＝tanα J!k5AkM  
w\fySM+-  
万能公式 [c'Z@^mZM  
=Mfm#b@O  
　　 )8bNMd~  
.P@j9jCv~  
其它公式 y_?;F`  
i6M"VWo4!  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 QlrZ34OR  
&F+K| l  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 m-2lP YI  
V}pEYz'a:  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 La9V=?K)Q  
fM4W1h  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 qyo>=71  
Z#iK/C}Z  
　　对于任意非直角三角形,总有 *NZG(zXu7  
I}gC S\>R  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ck{&GS@!K  
{:p6jWn  
　　证: \QO1h_]  
mNJDev  
　　A+B=π-C j-w|sSs*  
#k+SVf0r v  
　　tan(A+B)=tan(π-C) HB`C!nX  
Yu4 .d2_]  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 2mf~Q4E!  
E>`/ ,  
　　整理可得 6Gxi@O3nG  
~'mG^;B_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ;xd*W~  
7l9_&U0=  
　　得证 +d9!|.Y<  
A}YO0"U]  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 F>sd\v}PQ8  
; yd*:bP  
其他非重点三角函数 ^X$s= Ol  
suj1ilH0y  
　　csc(a) = 1/sin(a) aqp3[L  
xn>pzzM2Co  
　　sec(a) = 1/cos(a) 7FpxD .sX\  
w0Mp]&/$]I  
　　 _VqODVz !  
3xvKaTty  
双曲函数 % =J>yhv  
>VP7Htwt:  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ;;>O^|A`  
^ 3`=pU  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 M}aU'D8  
IJI=BU`L  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) W`VMR[w1  
iZ:vBgmg  
　　公式一： ; % g2/s  
p 7!.VPw!  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： i# g9u  
02=u[  
　　sin（2kπ＋α）= sinα y.sgM=;  
WAFyx)Bfl  
　　cos（2kπ＋α）= cosα >:: 2e"WMb  
.`E7E  
　　tan（kπ＋α）= tanα i#Pc&^BdC  
LU3NYHVc  
　　cot（kπ＋α）= cotα K tI9OS*  
c` iA=^g  
　　公式二： TFfIb8s= R  
|q/H2ba  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： AbD6f]e-6  
Kd|4bz3  
　　sin（π＋α）= -sinα Y0NA#:[1&  
6lM P$!+H  
　　cos（π＋α）= -cosα '&/ se|  
<'=>Xv<5  
　　tan（π＋α）= tanα *1,,bcX  
n?.&*  
　　cot（π＋α）= cotα s6 CP 7lp  
$9}"eV Q  
　　公式三： HcGIOp@xH  
L]d@H'w  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： R5mpf 2|  
h(\/zLYE  
　　sin（-α）= -sinα n)g<-R3e(W  
0B}G@%Ukaf  
　　cos（-α）= cosα iom0NqHE*  
=iR<uI@  
　　tan（-α）= -tanα R|TESAE  
~lWL})D  
　　cot（-α）= -cotα PWPw:?1nZ  
bB -i06Aa  
　　公式四： "WY qw\`  
kG(K> l/  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： g?3 NX`H  
)@$Jh>|f  
　　sin（π-α）= sinα Ax fD,'<$  
E U;}1<   
　　cos（π-α）= -cosα 42JR&PBS!  
iug;K4@,s  
　　tan（π-α）= -tanα TA2J, r\X  
:yF=$[qx!  
　　cot（π-α）= -cotα R'dFplmu  
/Uz|Szt!a  
　　公式五： $fRC$  
ZQ5^K>>  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： e}a~G 0Ur  
+*%eopQL7  
　　sin（2π-α）= -sinα :@g{H  
.j'D|*2  
　　cos（2π-α）= cosα `-/VQ  
JQ[ 1uH  
　　tan（2π-α）= -tanα u_4</ 7-  
/uI`y)r8|  
　　cot（2π-α）= -cotα O/r;VL^  
zG%I^ )'  
　　公式六： $eg;U!B  
:#*2HxbDwU  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： &h>]] hS  
rw]+r  
　　sin（π/2+α）= cosα z0bt.%[  
g-L ?!  
　　cos（π/2+α）= -sinα hV6.\O X  
$zB.>Z A  
　　tan（π/2+α）= -cotα -*?x+_ [  
{p~[lVP  
　　cot（π/2+α）= -tanα 2C}3F2Q,y  
Sv!ptrV  
　　sin（π/2-α）= cosα n~an _iv>  
bmv8dy  
　　cos（π/2-α）= sinα  |.C_eb  
-.}|_>St  
　　tan（π/2-α）= cotα ;PbJ+t$  
ub3hh\q  
　　cot（π/2-α）= tanα a7tC!LU7Z  
:T2N"Qa  
　　sin（3π/2+α）= -cosα xo9$D\  
/|2oin&,3  
　　cos（3π/2+α）= sinα #|9hkl  
'BlF1q  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 8GIuJ#  
!t_JX=  
　　cot（3π/2+α）= -tanα tXU Nai6  
T-oxuV~  
　　sin（3π/2-α）= -cosα !_@"rrZm&  
\j>1@2  
　　cos（3π/2-α）= -sinα KA{rKNcOo  
0$T=&5>  
　　tan（3π/2-α）= cotα eEn0RF  
xg ,JEtZY  
　　cot（3π/2-α）= tanα ;.";p[cv  
zXy;AawL  
　　(以上k∈Z) ]qrLd z[o?  
dw(|A:%#w  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 J7Y; Pm]  
X@Y&7?.(  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = {gkHV( I}A  
Sw!/=. .  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 42(f#  
bAw YddI  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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