三角函数内容规律 ]'JzyGaY
LcJDP$DU
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ;W*8G`C
@/9,65~uS;
1、三角函数本质: Jq<wu(j
S99\11L#'8
三角函数的本质来源于定义 LcC0|lV
E 6g~8`Z
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 p;S!-<L
JH$Jp96a#
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 u@bLro_7
R%b3v
;I
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: <y9&`k|IH
'n$ux>e/
推导: ]%Rvp!;}
Q}@h[m
(
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 )Z,VJ?3d
D;9\\TmQ
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Y\%){dL
,LC{p9Ok
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) pY-gQido
1\4G)|~Xp
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 K\jcyxt ;l
j!KL^
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) [d5*HSz6C
sEJIA{.Y
[1] 7,FOPp0#
`,/87QgI"o
两角和公式
:1y|vO
12jQN0l%
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB dy1oxrG
C-=$:qOY
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB bY.F
rAx
A
by`=\
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB zE!wp}i<
ixH9fM
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB W5$C_ZDu
Vmy[u@6
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) QezKU#.B
FVP
*c3g
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) aJTq
`"Xwo|M9
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) ,4ht$ooB
vzOP&:E
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) MpRpD
=`A[ej]$
倍角公式 _XD'Jwk
J#3M{H.*
Sin2A=2SinA•CosA ni?*&H$`2
b/2':q+~y
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 S2503!hG(/
Wd[1 Q"
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) NWsfG9F&4
'6TCkGm
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) h)D&5
/0oH]}Q
三倍角公式 /B=GBX8'
)%^2Co
g-M9D2F :
bbu272?{
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) $#D p?39
|\h[rn
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) mUk4vN6
0pJNeYG
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) :1S5750
ZUkiJ@A
三倍角公式推导 .W3FxB
JV9lHD|)
sin3a `]vgBB{D
7B}8\J99>
=sin(2a+a)
v{8V}
4%P{xoh
=sin2acosa+cos2asina ';P2W
{k(Z *eM
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Vao0ew]/
&'VUM
=3sina-4sin³a +XI1Zu wB
)v+ Ndk
cos3a yT++YJ
(O_!%*
=cos(2a+a) 6.X4W>]
<
s)*2AwD
=cos2acosa-sin2asina )W";IF.u
YX@!gsYv|
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa aB'xS>j"
F9b3rn
=4cos³a-3cosa OL
[
ca,p2N
sin3a=3sina-4sin³a (f]k9%c
]p2d\m{m+
=4sina(3/4-sin²a) vZu9ELm
}.b5j5moW
=4sina[(√3/2)²-sin²a] qoQ!O0%Te
3h :fkU
=4sina(sin²60°-sin²a) S|0 n{08+
eU
.9Mw;`z
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) |S^,.AVq
_h]\:U7Fb|
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] l%e#1 P
o-}ZR[*
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) u~%pm]W
ZclV8)m
cos3a=4cos³a-3cosa |uK\lO
\|wH]z;
=4cosa(cos²a-3/4) 7C1~*6
@,PYfvSKG
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] F _DP
{F${|'D$
=4cosa(cos²a-cos²30°) FlT#B)g
T-Y
k1d{
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ;=P+gosQ[
N)P(_][q
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} %j/\xqcS
&CT7Q
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) m^,ixdU
]d5y3v|1n
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] b"V=5i*
;g=Xem3&Z
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] &.v5D"O7
z{-{Ut"
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) m 7j9TI
u21qL 4<
上述两式相比可得 o>SWYCr'
nfpCEM|O
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) x4/SO>_N
<H]SuORMa
半角公式 hhQNL8^
||7{@LE
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); zwV{V.tx
B?l*OOg:8i
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. QsN
]E.X\e;^
和差化积 Gu\QHNX;
[],Y"hj
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \uv;XzE
k0ZqF?b
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] og*?go-
a-aL
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] A-g+
cLg!r,b
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] q;Bqr_n}
Dc*Zn :?|W
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) jyE^W|(Hu
hg %[cc6
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) @T$B2O3
Y?eM%CG6
积化和差 fTAB?]2
`!_}UBr
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Y|i! M
ihehM
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] @:ZgXY|<
u g}2>a9
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] uSEes]KG
Y.
o {
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Q%[6 'VYG
$L8vhzA@
诱导公式 DBzOfd
0
mea`y
sin(-α) = -sinα ,)]6mISw>
\'@H
cos(-α) = cosα ['!&H$
=v?B`}O}
sin(π/2-α) = cosα j>;eL8W6
1jK{)Dx_
cos(π/2-α) = sinα bmJjD@gX
p
)_Az1'
>
sin(π/2+α) = cosα R'"Uz7
[tuhH!2j
cos(π/2+α) = -sinα GzWYmI8-me
, PkUPdm
sin(π-α) = sinα Y|R_+ooR
+d&XqcIi
cos(π-α) = -cosα Qmb_V b4,
''
vQ.q
sin(π+α) = -sinα -:Q_:mp:
C?<O23n~8'
cos(π+α) = -cosα ss&mqmE&c
J)"ns5r)0
tanA= sinA/cosA kmu\vyY
z,Jn{,$*>]
tan(π/2+α)=-cotα oLhqF>*
|B4;!Y:2
tan(π/2-α)=cotα <k\y
,-:]spr
tan(π-α)=-tanα 26_M
'
;9,e^BGp
tan(π+α)=tanα u /*~u
bw>y
u1[z
万能公式 J&]O#@\
pcm l)7V
4d2Mc ]
eB)XH$UQ
其它公式 bAG9T}`%K
Us(ah6<<
(sinα)^2+(cosα)^2=1 1g
Us\b4
#?~Y,}k_|Z
1+(tanα)^2=(secα)^2 4&O/x
"vU
3
zV#
1+(cotα)^2=(cscα)^2 EsPg'd]1
;e%!?s4"
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 n:pDYD+u
bkE>~@*|-
对于任意非直角三角形,总有 &1d&k%|`
Bra9p-
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC %EFc7l%
[X_XaVK`
证:
+e&eJ~
!Uv _h|
A+B=π-C t4(z?Hj3|
WZg^
:B\
tan(A+B)=tan(π-C) bM6:.j&,
~p}U!@;.0
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ^+pw{c0%#
y%G'B:=2@
整理可得 1[p|g
Rz,8AS by
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q4[m_Q|
:?V>@Ml
得证 3kZW%^%
WYEaFu
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 d<DI`jV
.kfk!7@6.
其他非重点三角函数 E4bRP&Z~
}DWU$'u
csc(a) = 1/sin(a) <eD$K:(a
<\TbO%a
sec(a) = 1/cos(a) YfDs_aA
g~$.AE
5i8Ql5:
eifeSiZC\
双曲函数 {[p9ck[Hq
;0uP4p$
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 IB3i~?2.<
'EY,fNS=9
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 {Bwaw>w2g
!IfT=1,#
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) `m_^sT
Kflomgn(
公式一: ;N!l\W[r|
h[sG\MCr
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: ;jsH &~
?CI^ru4
sin(2kπ+α)= sinα 2,jK;d=r
nj
NeQ|Lq
cos(2kπ+α)= cosα sh
dloh
:?d#LDr|1O
tan(kπ+α)= tanα U8mT66Sh
x4AiK cdj
cot(kπ+α)= cotα QR.T_nhPO
@!yHoxF
公式二: }W
Mlh6
{#J'"*
f
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: J@Hz\jG.
*qX- |L,0
sin(π+α)= -sinα ]OC$ 2
hw=0_Ew
cos(π+α)= -cosα >h/s @4-
x_gY>E=|
tan(π+α)= tanα dx?;TDEUn
G*G44@/
cot(π+α)= cotα )s3PEE?4
u]JoFXN
公式三: ' uOS*p
eIC{f+b
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 8{ <->b_R3
,KJV6k2
sin(-α)= -sinα dj;9[6E3
=-Tqdu
0
cos(-α)= cosα i`ecCu9V
%;|h['&
tan(-α)= -tanα m bf
Z:s}
^i&_D'6s
cot(-α)= -cotα p~BY
c1fd>W
公式四: C9eNae%
\
~Q]II7?
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: PYOjNUc(
g7f!5R5P
sin(π-α)= sinα zk[O&!
"Jef[*nk
cos(π-α)= -cosα 2AD,;2J&_3
f9Fph`(R^
tan(π-α)= -tanα ]\CnK$
|3Az*5
cot(π-α)= -cotα Szw.A
?~S{X8nWw
公式五:
`_HTP3
^
=& J'
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: f}1,sRg
x (%U9,
sin(2π-α)= -sinα ^!zV3gN
am ~$k+?
cos(2π-α)= cosα {Pb<:'=*
6=Az[H]
tan(2π-α)= -tanα ZhB &%]q
P34="~zUL
cot(2π-α)= -cotα ?A_;c@8g:X
p$3)tD-q
公式六: J %c+Yn
"Jx_#cbi
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: ${c_6'xO
X[|J $
sin(π/2+α)= cosα
y|EL=FR1
(!F8kHC?
cos(π/2+α)= -sinα TJG\fe;w_w
3,l=bH
tan(π/2+α)= -cotα e2;xru1x
Bam]Hk}
cot(π/2+α)= -tanα 6{}cEv=!_
&%dp`8"y
sin(π/2-α)= cosα Q4I
k"\P
_fbem?9D
cos(π/2-α)= sinα "M_i(aD+!I
c} "VcGj8
tan(π/2-α)= cotα dSyd3{}ITP
/gP<1:JG>V
cot(π/2-α)= tanα !INS"^
v)b?\\pY
sin(3π/2+α)= -cosα ?e^}OW;
9JN;]xEf
cos(3π/2+α)= sinα j<{
v;
* -9.U
tan(3π/2+α)= -cotα I`x`i$c
<)w/gn L
cot(3π/2+α)= -tanα Azd"f.OLC}
%~eMo-"O
sin(3π/2-α)= -cosα k}:0cPK&n
R*(i*a NK
cos(3π/2-α)= -sinα !K@tRb*q
wMH-MA(
tan(3π/2-α)= cotα 9J?P8ufb
m<,8PnS)
cot(3π/2-α)= tanα 2 m6I\MGI
V) oZze
(以上k∈Z) >a?v3Ry(%
r3jcUtE,9
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 FR0j7;ch
>{*%^aU|
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = de 7?H/N{
Y
N&<Ag
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } \ZPf
wa5f|~A60
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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