三角函数内容规律
p/7Q{rN
P_dJ/,wR/
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. r<M6/>(\
9v4{Jf2
1、三角函数本质: !Hc*mO~/
!Dr Mcy
三角函数的本质来源于定义 jeo'WlF@[
}7Q|@(cSl
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 &726e<%:3i
Z3|
xPQ
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ZAlHgmx/l
Y(?iQvd v
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: S,sX0+
M" >2j`ww
推导: 5[vVAC@D'
{0yx+2}
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 %M-v4G}$Oq
h7yx3%Gb
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 6exz2R]
b$
lXz_
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) nJaxJ~>
F
Z* di
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 "TGOM|~E
@3.!X,!W
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) k>]'3
|.)Q/+Dd
[1] =T>q&Z`3
!aehAUzc
两角和公式 mj
&A[
RkK~cFv
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB fxinBX d
+1)d%p
&
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB oNG 0
{v*P5@CQ
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _Ad>467o
|R F9^Ge
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB HZ<d}Hfa,
5HUBQ\4xV
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) q SW6-aL1
0/?s9jk_
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a$V#8R
@(r$^U
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) !s _nc.w
8}a =aE
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) W66~azx*RQ
b*A?%CT[O
倍角公式 'GL1u~$
R^
(Uag"!
Sin2A=2SinA•CosA 6zA/d-7^
:X7Z[Pq
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
= +`
E1k!s6]
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) 9|0Qe.@U
' f lIF
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) *C|/bL$
j->IylK
三倍角公式 dG\.g3O
Jf*q~0Nu
DA?A{&?
G/:<{ M+
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) q
u !U
UxP&*.zI
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) T:
?o:r6
rq+:|?6"
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 53WFkj _
tL q}99
三倍角公式推导 ucgM-M
2\i8(rdn*
sin3a Zjx5[a[W
e%t/4R'
=sin(2a+a) QAv*8zx x
d\Z_5s
=sin2acosa+cos2asina q9[s$<dq]Z
)\
genm
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 0z<(os
K>N,QN
=3sina-4sin³a >o>Ir<o
^TxSCR(U
cos3a nLB27}Mn
iA7w{SFH/
=cos(2a+a) --t(ENPhr
xu9
=cos2acosa-sin2asina V X1)tC4!
c
z8do
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa lYu9by
{RI.e~7Hd
=4cos³a-3cosa B<#
6W
TKkPH/@
sin3a=3sina-4sin³a C\rC.W
9pm%7=>^
=4sina(3/4-sin²a) <8VTy@Fy!
u1~7{+
=4sina[(√3/2)²-sin²a] k#>I70.H
38!vLrQ
=4sina(sin²60°-sin²a) CNY1|
;}&9i;V
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) %Gz'IbFSl}
jCxQ=7S4a
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] P=k3Jz
2!rj4CA
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) # ARQ
sPW#(.F
cos3a=4cos³a-3cosa 'ow9[zc&'t
rW"6]dk
=4cosa(cos²a-3/4) :6Qp8
4_5c /]
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] vWvv
q9
VJsZY\zXH(
=4cosa(cos²a-cos²30°) Wq
bGP
)Z<f4UN@x
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) oY8 X6=<*
c<{!b;|
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} d+9y %6dm
uMbQG
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) qrD1<Rw|oE
rd;=
!8
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] gO2pA !
<ue:# _y
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] <r|9"c
TPW&u3
'rk
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
(^c$"T1
7
b3K;cOY(
上述两式相比可得 'Z$9MXk.e
BR!V>x|<^
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) i2
{VoB,L
v/6`8T-'~X
半角公式 WSWMs7>N
EoVqv4;L
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); -B~|5w?
gUG||T
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. n}?,7h7@
{prEYL(
和差化积 ,"!9$
|.2MzL@
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 7i[+JL|os
$b+gKm<de
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ]GWQs+@
g' ,Z^"ve
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] t]@h`0]<
+Z`[M*l+w
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
r7YcXd
4(p
*p7
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) BA{Hhe9F
I:iqV
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) a8Vw
g
32sw~I
积化和差 $K,`k44
1Fqf.
@0
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] jd<by/=
Gg>,Uu>un
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] v?O| 'F!
Mj'd see
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] joEPO|\1
-mJ?*yTnO
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 9v<p,+ElX
"^,h=C`C5
诱导公式 jWmFRk%
;nFHz`[
sin(-α) = -sinα o&q%C"J
M}oY0Y[[-
cos(-α) = cosα W|8Qs"BB
cDGo-_w%{
sin(π/2-α) = cosα Z(v3yy
$,F]Q<Juh
cos(π/2-α) = sinα ]f!`/
\
Q
[N!8$
X
sin(π/2+α) = cosα w\CLG_Zk;|
~TrGKyA
cos(π/2+α) = -sinα \OGMY[
jx/H8,%
sin(π-α) = sinα Q9{Pt8<
rEK>FNl~i
cos(π-α) = -cosα OMg[Z_/ih
7WW%AS[N
sin(π+α) = -sinα #!(rg\3
if0)[Z[
cos(π+α) = -cosα
~JrF"<
`^E"aS}
tanA= sinA/cosA ;4K(iI
l1n
q{L"f
tan(π/2+α)=-cotα 8!4^Q~
G
%^9@rW$
tan(π/2-α)=cotα !F
9.5
2$?/u[;bW
tan(π-α)=-tanα Cgna-ZN
Y$,(ps?#
tan(π+α)=tanα O_"`x&A0'
wo2(h}1
万能公式 <Xa`&U^
@C(qT3N
$2.j&{E
B> .-40
其它公式 ue9?O43
sFYd&T
P
(sinα)^2+(cosα)^2=1 t<f;FB$
OT#G-vl
1+(tanα)^2=(secα)^2 $4 o 7()
KD/,wGYgdG
1+(cotα)^2=(cscα)^2 v\`3^YW
8h9yiiL
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 k QvJ Oo
b}>0MQ( !
对于任意非直角三角形,总有 =e3'J$F^r
{!no~ya
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC : {5qB3
:x2H[BRh
证: 7t~51a
;mQE*K=hTA
A+B=π-C $R*8!'z]
1Yk?0Z
tan(A+B)=tan(π-C) |H+6-g{
*GJfu~q
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 3%hCw
?QU4&D=&s
整理可得 s"lnU
Z&~Pgyf{C
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC L{~$s:4~+
CDS)l}B,Q
得证 xqKGy["iA|
5XIC_wu
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ^Ukp?>
<N2vXf|
其他非重点三角函数 ,_h\ )
Dr
q
;;C
csc(a) = 1/sin(a) &UNx\G"]
F]V#
sec(a) = 1/cos(a) mCLX\
korF{R#
IIY<_
j^kKj6K
双曲函数 ~q]~B.C4
a=8Y?ob
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 XW] 69t
Mz_4+YA!
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Rw/"
n8J"(
&?Q,D`T<
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) !V);CJKb
:^Q%
Ok.
公式一: x,K,y
>;i%;#mn
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: )968z
~$z~#4|e
sin(2kπ+α)= sinα 8Kba OZ@L
DsS%
|ES
cos(2kπ+α)= cosα KBJN8g;vy
zVo+Xv^+J
tan(kπ+α)= tanα <OUc
A#
Lt.&Y
ejE
cot(kπ+α)= cotα S2uO
$
gFRwPqv
公式二: Xr ]XY9
(
4OTk
~3
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: V{sWxQ[r
S\3 +
sin(π+α)= -sinα BrB
>x5#
-kjgg\<
cos(π+α)= -cosα a@rmFh,_
Nu$\ _4
tan(π+α)= tanα -LzQh#nd
5`.>/
L
cot(π+α)= cotα HM4kd@=
O(Q`.>Y
公式三: 1S$ ,t
,'8ZJ(K
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: $9OCM#16n
A EYQJJ
sin(-α)= -sinα qg74q&Do9
it6}~0~$
cos(-α)= cosα m^D Bnj
vw,eZZ
g
tan(-α)= -tanα K8 R
Zr*eB1dL
cot(-α)= -cotα -
DMc
0o'
公式四: cr@lhE
kpd>X*Gxz
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 4j&
9#<
.Z^A6g2EU
sin(π-α)= sinα HKEY.}k
$nQ(87aR#(
cos(π-α)= -cosα cl5.7l_z
|!jzZu1=
tan(π-α)= -tanα 37xrBD
IJ
'M!8[%
cot(π-α)= -cotα na[xZK2
lwIuBl#K.
公式五: {zDb=}#
TPF":@f>X
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ^M\" 7G
x)fY 5?e
sin(2π-α)= -sinα =Se<kj!
[b1}e}LP
cos(2π-α)= cosα 4dL/Mm
>&mZyfm
tan(2π-α)= -tanα xx&*80<
UBfh
{w
cot(2π-α)= -cotα @jTS2*%
e|zf=#
公式六: = qtr##(
$6'CKxj'
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: )za[4 v
(y<RL^Pi[
sin(π/2+α)= cosα IsKZ4diHQ
ux~ZVx]Y
cos(π/2+α)= -sinα )_Dk2f
-Ch$ \X
tan(π/2+α)= -cotα j1E_ 4
nR
V?"d*P
cot(π/2+α)= -tanα n,RZCo3[
2Y+vh|Pds
sin(π/2-α)= cosα "D]3}fv
gGoI$Y/
cos(π/2-α)= sinα ]_Mu$i4e%
{^a-aSt
tan(π/2-α)= cotα PvoV ^4
p~cAR"c}
cot(π/2-α)= tanα (\zFZo?
ez>t*_P}BL
sin(3π/2+α)= -cosα O64014XL
z ;\ I\Sg
cos(3π/2+α)= sinα fXq/t|&A
0A,sxLju
tan(3π/2+α)= -cotα K|[1MxLS1
*KzCz`O!&
cot(3π/2+α)= -tanα Vu\iv=w
71_GE'oe
sin(3π/2-α)= -cosα ' ;r RFq
p-L
ug
cos(3π/2-α)= -sinα rrJGA-S
;
--YgHlm-
tan(3π/2-α)= cotα +A-K,CF}e
uz9F$ $$
cot(3π/2-α)= tanα k FBtkq|
CE+/H^
(以上k∈Z) P0TC1s>j
bJ5J]T90Y
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 P&8Ymqi
oO;\
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = |mP<7tP@
:>/}z[
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } [8/L?I1mS
`@'1~DL.
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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