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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 p/7Q{rN  
P_dJ/,wR/  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. r<M6/>(\  
9v4{Jf2  
　　1、三角函数本质： !Hc*m O~/  
!Dr Mcy  
　　三角函数的本质来源于定义 jeo'WlF@[  
}7Q|@(c Sl  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 &726e<%:3i  
Z3| xPQ  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ZAlHgmx/l  
Y(?iQvd v  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： S,sX0+  
M" >2j`ww  
　　推导： 5[vVAC@D'  
{0yx+2}  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 %M-v4G}$Oq  
h7yx3%Gb  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 6exz2R]  
b$ lXz_  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) nJaxJ~>  
F Z* di  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 "TGOM|~E  
@3.!X,! W  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） k> ]'3  
|.)Q/+Dd  
　　[1] =T>q&Z`3  
!aehAUzc   
　　两角和公式 mj &A[  
RkK~cFv  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB fxinBXd  
+1)d%p &  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  oNG0   
{v*P5@CQ  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _Ad>467o  
|R F9^Ge  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB HZ<d}Hfa,  
5HUBQ\4xV  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) q SW6-aL1  
0/?s9jk_  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a$V#8R  
@(r$^U  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  !s_nc.w  
8}a=aE  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) W66~azx*RQ  
b*A?%CT[O  
倍角公式 'GL1u~$ R^  
(Uag"!  
　　Sin2A=2SinA•CosA 6zA/d-7^  
:X7Z[Pq  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1  = +`  
E1k!s6]  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 9|0Qe.@U  
' f lIF  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） *C|/bL$  
j->IylK  
三倍角公式 dG\.g3O  
Jf* q~0Nu  
　　 DA?A{&?  
G/:<{ M+  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) q  u!U  
Ux P&*.zI  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) T: ?o:r6   
rq+:|?6"  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 53WFk j _  
tL q}9 9  
三倍角公式推导 ucgM-M  
2\i8(rdn*  
　　sin3a Zjx5[a[W  
e%t/4R'  
　　=sin(2a+a) QAv*8zxx  
d\Z_5s  
　　=sin2acosa+cos2asina q9[s$<dq]Z  
)\ genm  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 0z<(os  
K>N,QN  
　　=3sina-4sin³a >o>Ir<o  
^TxSCR(U  
　　cos3a nLB27}Mn  
iA7w{SFH/  
　　=cos(2a+a) --t(ENPhr  
xu9  
　　=cos2acosa-sin2asina V X1)tC4!  
c z8do  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa lYu9by   
{RI.e~7Hd  
　　=4cos³a-3cosa B <# 6W  
TKkPH/@  
　　sin3a=3sina-4sin³a C\rC .W  
9pm%7=>^  
　　=4sina(3/4-sin²a) <8VTy@Fy!  
u1~7{+  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] k#>I70.H  
38!vLrQ  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) CNY1|  
;}&9i;V  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) %Gz'IbFSl}  
jCxQ=7S4a  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] P=k3 Jz  
2!rj4CA  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) # ARQ  
sPW#(.F  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 'ow9[zc&'t  
rW"6]dk  
　　=4cosa(cos²a-3/4) :6Qp8  
4_5c /]  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] vWvv  q9  
VJsZY\zXH(  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Wq bGP  
)Z<f4UN@x  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) oY8 X6=<*  
c<{!b;|  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} d+9y %6dm  
uMbQG  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) qrD1<Rw|oE  
rd;= !8  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] gO2pA!  
<ue:#_y  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] <r|9"c  
TPW&u3 'rk  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) (^c$"T1 7  
b3K;cOY(  
　　上述两式相比可得 'Z$9MX k.e  
BR!V>x|<^  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) i2 {VoB,L  
v/6`8T-'~X  
半角公式 WSWMs7>N  
EoVqv4;L  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); -B~|5w?   
gUG||T  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. n}?, 7h7@  
{prE YL(  
和差化积 ,"!9$  
|.2MzL@  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 7i[+JL|os  
$b+gKm<de  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ]GWQs+@  
g' ,Z^"ve  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] t]@h`0]<  
+Z`[M*l+w  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  r7YcXd  
4(p *p7  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) BA{Hhe9F  
I:iqV  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) a8Vw g  
32sw~I  
积化和差 $K,`k44  
1Fqf. @0  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] jd<by/=  
Gg>,Uu>un  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] v?O| 'F!  
Mj'd see  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] joEPO|\1  
-mJ?*yTnO  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 9v<p,+ElX  
"^,h=C`C5  
诱导公式 jWmFRk%  
;nFHz`[  
　　sin(-α) = -sinα o&q%C"J  
M}oY0Y[[-  
　　cos(-α) = cosα W|8Qs"BB  
cDGo-_w%{  
　　sin(π/2-α) = cosα Z(v3yy  
$,F]Q<Juh  
　　cos(π/2-α) = sinα ]f!`/ \ Q  
[N!8$ X  
　　sin(π/2+α) = cosα w\CLG_Zk;|  
~TrGK yA  
　　cos(π/2+α) = -sinα \OGMY[  
jx/H8,%  
　　sin(π-α) = sinα Q9{Pt8<  
rEK>FNl~ i  
　　cos(π-α) = -cosα OMg[Z_/ih  
7WW%AS[N  
　　sin(π+α) = -sinα #!(rg\3  
if0)[Z[  
　　cos(π+α) = -cosα ~JrF"<  
` ^E"aS}  
　　tanA= sinA/cosA ; 4 K(iI  
l1n q{L"f  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 8!4^Q~ G   
%^9@rW$  
　　tan（π/2－α）＝cotα !F 9.5  
2$?/u[;bW  
　　tan（π－α）＝－tanα Cgna-ZN  
Y$,(ps?#  
　　tan（π＋α）＝tanα O_"`x&A0'  
wo2(h}1  
万能公式 <Xa`&U^  
@C(qT3N  
　　 $2.j&{E  
B>.-40  
其它公式 ue9?O43  
sFYd&T P  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 t<f;FB$  
OT#G-vl  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 $4 o 7()  
KD/,wGYgdG  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 v\` 3^YW  
8h9yiiL  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 k QvJ Oo  
b}>0MQ( !  
　　对于任意非直角三角形,总有 =e3'J$F^r  
{!no~ya  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC : {5qB3  
:x2H[BRh  
　　证: 7t~51a  
;mQE*K=hTA  
　　A+B=π-C $R*8!'z]  
1Yk?0Z  
　　tan(A+B)=tan(π-C) |H+6-g{  
*GJfu~q  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 3%hCw  
?QU4&D=&s  
　　整理可得 s"ln U  
Z&~Pgyf{C  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC L{~$s:4~+  
CDS)l}B,Q  
　　得证 xqKGy["iA|  
5XIC_wu  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ^Ukp?>  
<N2vXf|  
其他非重点三角函数 ,_h\)  
Dr q ;;C  
　　csc(a) = 1/sin(a) &UNx\G"]  
F ]V#  
　　sec(a) = 1/cos(a) mC LX \  
korF{R#  
　　 IIY<_  
j^kKj6K  
双曲函数 ~q]~B.C4  
a=8Y?ob  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 XW] 69t  
Mz_4+YA!  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Rw/" n8J"(  
&?Q,D`T<  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) !V);CJK b  
:^Q% Ok.  
　　公式一： x,K,y  
>;i%;#mn  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： )968z  
~$z~#4|e  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 8Kba OZ@L  
DsS% |ES  
　　cos（2kπ＋α）= cosα KBJN8g;vy  
zVo+Xv^+J  
　　tan（kπ＋α）= tanα <OUc A#  
Lt.&Y ejE  
　　cot（kπ＋α）= cotα S2uO $  
gFRwPqv  
　　公式二： Xr ]XY9 (  
 4OTk ~3  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： V{ sWxQ[r  
S\3 +   
　　sin（π＋α）= -sinα BrB >x5#  
-kjgg\<  
　　cos（π＋α）= -cosα a@rmFh,_  
Nu$\ _4  
　　tan（π＋α）= tanα -LzQh#nd  
5`.>/ L  
　　cot（π＋α）= cotα HM4kd@=  
O(Q`.>Y  
　　公式三： 1S$ ,t  
,'8ZJ( K  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： $9OCM#16n  
A EYQJJ   
　　sin（-α）= -sinα qg74q&Do9  
it6}~0~$  
　　cos（-α）= cosα m^D Bnj  
vw,eZZ g  
　　tan（-α）= -tanα K8 R  
Zr*eB1dL  
　　cot（-α）= -cotα - DMc  
0o'  
　　公式四： cr@lhE  
kpd>X*Gxz  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 4j& 9#<  
.Z^A6g2EU  
　　sin（π-α）= sinα HKEY.}k  
$nQ(87aR#(  
　　cos（π-α）= -cosα cl5.7l_z  
|!jzZu1=  
　　tan（π-α）= -tanα 37xrBD  
IJ 'M!8[%  
　　cot（π-α）= -cotα na[xZK2  
lwIuBl#K.  
　　公式五： {zDb=}#  
TPF" :@f>X  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ^M\" 7 G  
x)fY 5?e  
　　sin（2π-α）= -sinα =Se<kj!  
[b1}e}LP  
　　cos（2π-α）= cosα 4dL/Mm  
>&mZyfm  
　　tan（2π-α）= -tanα xx&*80<   
UBfh {w  
　　cot（2π-α）= -cotα @jTS2*%  
e|zf=#  
　　公式六： =qtr##(  
$6'CKxj'  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： )za[4 v  
(y<RL^Pi[  
　　sin（π/2+α）= cosα IsKZ4diHQ  
ux~ZVx]Y  
　　cos（π/2+α）= -sinα )_Dk2f  
-Ch$ \X  
　　tan（π/2+α）= -cotα j1E_4 nR  
V?"d*P  
　　cot（π/2+α）= -tanα n,RZCo3[  
2Y+vh|Pds  
　　sin（π/2-α）= cosα "D ]3}fv  
gGoI$Y/  
　　cos（π/2-α）= sinα ]_Mu$i4e%  
{^a-aSt  
　　tan（π/2-α）= cotα PvoV ^4  
p~cAR"c}  
　　cot（π/2-α）= tanα (\zFZo?  
ez>t*_P}BL  
　　sin（3π/2+α）= -cosα  O64014XL  
z;\ I\Sg  
　　cos（3π/2+α）= sinα fXq/t|&A  
0A,sxLju  
　　tan（3π/2+α）= -cotα K|[1MxLS1  
*KzCz`O!&  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Vu\iv=w  
71_GE'oe  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ';r RFq  
p-L ug  
　　cos（3π/2-α）= -sinα rrJGA-S ;  
--YgHlm-  
　　tan（3π/2-α）= cotα +A-K,CF}e  
uz9F $ $$  
　　cot（3π/2-α）= tanα k FBtkq|  
CE+/H^  
　　(以上k∈Z) P0TC1s>j  
bJ5J]T90Y  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 P&8Ymqi  
oO; \  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = |mP<7tP@  
:>/}z[  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } [8/L?I1mS  
`@'1~DL.  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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