三角函数内容规律 J)f{hFRSD
VSCp/Wkm
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. >e_*~T%
7g o<b2_(
1、三角函数本质: Of9:_co~q
]5NUv]DI
三角函数的本质来源于定义 0iGc\I}0
uOUQ]7*28O
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 -;$wQQV`
*{~0k8
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 >[%5^N$<
5|
)]wbXK
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: u1P)kJi
d09I\
推导: `<5*GcXl
xaD;+K`
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 (QZ"
SfJ2~
TK]J@Hx<
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) WAK
R \`
Q.4F`
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) -%*WCF\|
.J&
Z
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 0D
uEr
3au5;HsZ
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) @p0%A|
XVHi%{9
[1] |W=*52L'
'[pF~b,?D
两角和公式 {gOW=r_m~O
MF.agp)DHv
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB s\p:.g4
x5 Jy_6
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB <u6XT
3
Ra4%;)O@
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB +iIJK!!AB
Q@ !Le>
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB DQrh57,I
j;) 5Sy
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) {J?yCJD
V_ZW
nmrR
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ;-Q JR_
r'0y t7
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 9xB3w`$9`
6b1B\Y6
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) J:/id>y&
nV
Nuq
倍角公式 x7y[
q%o] d
Sin2A=2SinA•CosA fGb]:heY
Kt 9;.o*
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 KCfBB X
s0 Ja]I
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) @%mxmUY}b
v+/|}
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) a:am]q+N`
`^E\2-Y
三倍角公式 !H39+\
`'
6FvW
4Yyy@c
W
G;A[~q
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ,la%QqE
S{|$k
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) VQ&6k#nV=>
~#J!M.{_
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) jCEN}K
DtFp\Em0+
三倍角公式推导 7_U#K8^)e
f!n8!t
sin3a "l:Ho s6
fR:]Tz&XQf
=sin(2a+a) r4TTckX
->_!ZD03
=sin2acosa+cos2asina XXh&fI:9
.xPF+oY
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 0:b7CQ6UP
Ai&:qTH$
=3sina-4sin³a
Uj$8,a'
;# *A&`
cos3a 2o<zS V !
X#4Pu
=cos(2a+a) }c'dfnI;
eMpPz=f
=cos2acosa-sin2asina i{ Y,EXdBK
yu'5Qa
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa tx.|.qqY
s*Xwl2
=4cos³a-3cosa oz%G{!"S
,o'[
V7
sin3a=3sina-4sin³a I@nt2#N
T,tfYW@6p
=4sina(3/4-sin²a) ("x*N7\
K@^5%x_(K:
=4sina[(√3/2)²-sin²a] gS;0u
IB ;Z%<
=4sina(sin²60°-sin²a) saSq5:l
@W.Pe=
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) % `6E7^M+{
;p.Q5*
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] "<.sV>
]
GAz PB
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ;]_LKycO#
.MTzf:
cos3a=4cos³a-3cosa q|FTKa
%@5\">'
=4cosa(cos²a-3/4) #C[4&A>
9@^wo
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] $!a/J
IJm{"[bl
=4cosa(cos²a-cos²30°) !cgbz&wK
nSg] nk
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) .sr;8^`J
#]x[Z^oj
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} QWT^nv@
=ygN$CUe|
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) {YwU &jY
Y,NM\;i)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] h]b+e@\/~
Wi}$)`%|
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] M/
]0$
#\oe-O{4e
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 2v;jmPDPO^
e"G|xsQ2B
上述两式相比可得 4rI8cQ5
Il5bQ?r<h
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ]+bI<zCSrC
=mMp~\5?
半角公式 {3vy8}aJl
NscU,>hh
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Ite>H^*
5i"Rk#5
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. iXZ{zhdE
( (-#il5g
和差化积 btKB/0fnI=
jJe:F~
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1N?'Oq1ah
mKS\ FV\F;
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] H5chkUg%
u th}b=S[
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +'AK*L'
vAI+1/E
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &d(dYyg
R-~XaB
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 9z2@ oro
;hkd"]!
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Yc_IaL9"
QkD'TfF
积化和差 c VVx!
dQ``yDDv
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] EvNA;x'
9&3)Go|"6
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]Vv[Gc
UK(hW$
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Pz^4j j}
`{VAL>r=,E
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 9_G$]y
H#S3fpc
诱导公式 bdF!$
Bti/#H@c-
sin(-α) = -sinα r/. E_
1]UGdjh
cos(-α) = cosα gio?qP+{
|
_'|6Z
sin(π/2-α) = cosα 60fLt{pF
\)CE*K!iq
cos(π/2-α) = sinα {x.[N}P
*ao3
sin(π/2+α) = cosα &o+kN=
v~Dj(r$SH(
cos(π/2+α) = -sinα 3"BZcZeco
<<_5vE y)
sin(π-α) = sinα `cx}C
{#
5,B+O1
cos(π-α) = -cosα N//TW<J<`#
RG=d7{7D
sin(π+α) = -sinα bmD)Efa{
}ItGO
7
cos(π+α) = -cosα >`d]O-@{R
"q.up
tanA= sinA/cosA gQ24
BVU
e
6lg
tan(π/2+α)=-cotα w]tuiO'|
AJ`Z]?
tan(π/2-α)=cotα
y&{[;pCe
$83gg$l
tan(π-α)=-tanα Ry2ZeH}*
Mm )!
tan(π+α)=tanα H#T(dh0r.
NDMO8WI4\4
万能公式 7
TTeJ|~'S
qGfI&z)-A
@%S12
}, G*+-
其它公式 <LRQ0)!z,
Iw|y
9]JU
(sinα)^2+(cosα)^2=1 =h{vi"z<*A
^
9F9g"
1+(tanα)^2=(secα)^2 ?(@OP`
:P"iuizm
1+(cotα)^2=(cscα)^2 G:E4OfM"
lyBi?:jiz
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 EeYD_kjC
2Y~75}]o
对于任意非直角三角形,总有 /b#
<]%)q
LarlQD>|
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |8C:^<A\
SRZA`\@"
证: K%Y4:4?j
iUcF1F6
A+B=π-C (,!xxBs
swT&L&
tan(A+B)=tan(π-C) )'h>a4Y{t
m=7@;dfcA
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) %(RcmY
{Vry| A
整理可得 H(ZHaXJW
*g':-_XOu
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC "ICE69`
2{M[%x
得证 bUW:Pjk
rNWV$rty^
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 2q`v.*:
>%2wT9X
其他非重点三角函数 =pY*9e^
|h,T-7
csc(a) = 1/sin(a) ,K\YvoAK=<
QE)wiTbg/
sec(a) = 1/cos(a) 95XDTK<g
Yu_{.%[@iJ
.y
dEfo#
V(qAkxr
双曲函数 `A4
]cCI
GHOk`2@fX?
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ##3'}Q
Z+0(f\<1
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 &)D;lP
T 6$&Kr
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) m3:8eG<_
t>,o 3Y
公式一: B$WB
mw5Z?
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: }/kwqCxx=
4
ChG]l
sin(2kπ+α)= sinα M
tlraB"
+cSY>p}
cos(2kπ+α)= cosα l2AB7X J!
Rc0[! j'h|
tan(kπ+α)= tanα #f 5Jb]j
!@bn]#(ui
cot(kπ+α)= cotα w;,{rq
1bf)Mt/,K
公式二: c#kW+YW
b'vT|}bY
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: i+etgh,
lk1TH-K6m
sin(π+α)= -sinα DE:&c9I38
A?k
Ye(
cos(π+α)= -cosα 6 vIgJL
-8|6
s*9A
tan(π+α)= tanα .(plMt
i*h![t`!
cot(π+α)= cotα >su4?j~
aZDBijw8k
公式三: &
@h]&
@5E^}]
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: I}G`\AS2%"
Cy.K;B
sin(-α)= -sinα e
c?pzA[
OJ;shijgvh
cos(-α)= cosα 4#aP t-|{
h8(S.NRt;
tan(-α)= -tanα X +i,|&,w
ys~4</}.
cot(-α)= -cotα Zg
EK"di
$wi*t(FS'
公式四: AhONBK
7ap
jJ>!VX
sa
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: J'(NL{[
^&|c\qqiR
sin(π-α)= sinα z9:oOfdFq
w/s)(@
cos(π-α)= -cosα f}9DY,P
o}"&Bym:
tan(π-α)= -tanα .('v|pM>
<,BxJ6;
cot(π-α)= -cotα I_fa<
|
hWa%"Hn
公式五: C %"O&0W
"4+}v-U
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: cFW=Re6
{!Hm#.
sin(2π-α)= -sinα :vz+<;@mL
5I1AdS
cos(2π-α)= cosα VB*)q:D^
7jtX
f,e
tan(2π-α)= -tanα Ub
>e\
|RKS5 Fm
cot(2π-α)= -cotα U
,*h*n
QrNEAl6
公式六: .i*f LM'
86@dZ
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 8M'l_Q
=~U(T>;,
sin(π/2+α)= cosα ]7n
t%*pn
Xp^]-K0"
cos(π/2+α)= -sinα Ye Ux,u^0
gs]E;uqJ
tan(π/2+α)= -cotα Vy/F{bkO
h+j2%R)vQs
cot(π/2+α)= -tanα VeY]1]
}eHp9:nHa
sin(π/2-α)= cosα %%.a(q<?V
4, #c|4\?
cos(π/2-α)= sinα : ,X5]dq
N%[)(CnI9
tan(π/2-α)= cotα dW4;
2*
} Bpc6(U
cot(π/2-α)= tanα \|gro<a^
mr6_RBF
sin(3π/2+α)= -cosα `?~\5^7
bkqD?x:
cos(3π/2+α)= sinα #'W^kr'L
+_I^&y 4
tan(3π/2+α)= -cotα lxJORf(
I=_r7x
cot(3π/2+α)= -tanα %THZ/.x
Y>'>:5
sin(3π/2-α)= -cosα D8-*Z9&|S
QfcHpac
cos(3π/2-α)= -sinα }}G(z[F
+8w+Rl
tan(3π/2-α)= cotα eH%mD+eB
;"=_
<+~
cot(3π/2-α)= tanα OP& |