日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ,|T'; PMO  
m!b7k  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 0?g>,J  
\f[pNoQ.  
　　1、三角函数本质： wKq}J(x  
416U{`5  
　　三角函数的本质来源于定义 3z FtF@Y!  
t\Q3o?  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 l |k^n  
Vzw<A|`=  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ?5XQ?asW  
R&` bo(k`N  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： WoPhW8V'  
"VpX,rH'  
　　推导： s!,DRD-iF  
P{ZHic  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 V<@GH]  
a Sl&v[FM  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 8D4?qH?F  
k[ Ku|)*_v  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) V(wZ60=  
%/mV}Q_  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 rm{t,dK#  
K!Pl.I  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） A.N7nBj  
5&kH<  
　　[1] juj{Xg^fH  
Rt^e &  
　　两角和公式 ZIDC.C:  
#8a6 dmd!  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB #-4+c  
P3sE%  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  znhoyOxmUg  
^,G8(}#u$  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 2X5^$m*  
.kkafU.su  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ;!gg33{  
4 |L!N.^B  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) }lE?-:gF  
qs ',AcBU  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) { Md MEQ[  
X R]P2DH  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  'L|dVkK  
,U_mz|7  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 8Ji(9t>  
u5xENY  
倍角公式 ;],wuF,  
~]S( _1ymA  
　　Sin2A=2SinA•CosA /=!(~xxP(.  
1m m<lex  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 %S. Dz&  
/Kq7 e  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） /_BD,@Y2  
Xs,Md[C^R  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Z[cwA"4$Y#  
lTP|ZlTQr:  
三倍角公式 Ll8v TI$-  
Zi?V J8  
　　 6pXHT{M\RB  
sj=Ojp]@  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) XL G-)bk!  
]vq-^<sA  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) xLBYxG}  
+|D= B  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) HMV,l -C  
j wX{qR5F  
三倍角公式推导 M10?0aP"x  
h<5n{Hm  
　　sin3a +-Fp[  
s*VsolG&  
　　=sin(2a+a) 0GX,wUh ~k  
_{Bs&eJ&  
　　=sin2acosa+cos2asina af1#hG}  
zX7&aR34  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina y k; !i  
sQL;7hf5R  
　　=3sina-4sin³a |^blAp'`"  
rG_&GWG  
　　cos3a P_|~  
9Cq56%_^  
　　=cos(2a+a) )yz[N03S  
~N~_ \^"T  
　　=cos2acosa-sin2asina pjxFr[j'  
Dyg]y|! gP  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa pkQ+?c1y  
mt_ nZ  
　　=4cos³a-3cosa YMi[5X"  
QY:^5p!f  
　　sin3a=3sina-4sin³a t&:$~8%[  
n!EqTU  
　　=4sina(3/4-sin²a) r?wV] r  
#74. 0+.  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] O$x<  
W.rGhT =  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 172#*   
}vIU="mR0  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 1f42G!1 ,  
} gE'+:wq  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] `1M-lx1R5  
oTZwcI  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 2kz+0Lu S  
5,2 6_-\  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ASB% "jM  
~GP!Ss)  
　　=4cosa(cos²a-3/4) @+aC zsZ  
.mc llIg  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] S&D4eP  
JZ%8d(A1q  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) :7W,{uQL  
I41ErcU<JA  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) > [|/$E0X  
~ov*$$X  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} tHD!T]H{  
qio>3s'  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 7pl|gg08$  
X\7-V-pY%/  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] -50JBcC  
fLdv}p0J  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] y`Kvby  
= ndu_M  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Mk_vP$D#s  
$oxV &dr@z  
　　上述两式相比可得 %X3i&V  
Q1YHuAMP$  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) l/pOQ<n  
y^h*7?>!  
半角公式 cgp{"J<nr  
(/`1G'`[A  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ~41 -Ss  
6[l{28N  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. [XY5C[s  
Bb](q&  
和差化积 %{nBpCfH9  
OE.Z1L?5M  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^!~sdmQ:8:  
9[/Y  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] zH*> "[K  
uJOT5D  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]  X] DA}  
xqgn  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ;^l vM{  
uC[mkaH\  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) }ty6RO PTr  
y2e,-))Xh  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) (S4._jMk  
"5I7L5.  
积化和差 ('(HGgz  
SxsO0QY=  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ln}!ad<@  
B?t:G5  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] F CGiS$ 5a  
A=j q`0:U  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ]WZ'wt}  
7"Q~,/0"p  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Bje_m%igE[  
s;O#pJys  
诱导公式 H!W#DzVS  
p9QVhD W  
　　sin(-α) = -sinα :)Y(T-"z  
sds!~Y9~  
　　cos(-α) = cosα O\84L)S  
>qY7-G  
　　sin(π/2-α) = cosα zs+Tl  
H}OfEzA$  
　　cos(π/2-α) = sinα azvAA!F|F  
~Do/<x?M  
　　sin(π/2+α) = cosα q 8|*a$M  
Ye,5  
　　cos(π/2+α) = -sinα 'Ywhg(A3  
Mb$?4A|  
　　sin(π-α) = sinα XqgZ'  
)O A`r9Y  
　　cos(π-α) = -cosα @=JT{J   
i""Iwm  
　　sin(π+α) = -sinα %EIq/ cc  
#-(nq];=  
　　cos(π+α) = -cosα %l T^CT  
A/6@_m=`  
　　tanA= sinA/cosA G9p{/!&i~  
X@koZ"sRBV  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα .PZ0XHPK  
j3AD> Sk  
　　tan（π/2－α）＝cotα yr0lVs  
}2w;PhM  
　　tan（π－α）＝－tanα Dund'V  
*-_P  
　　tan（π＋α）＝tanα 7T( yb$!g  
*A2- "&,  
万能公式 `R`y?Pj  
Glk  y-  
　　 w/LKGPE  
;3? q3  
其它公式 %!_2 ov   
T}`uG @cS  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 h 66Z]LS  
I;}IM-p lM  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 k-Q*>"e  
Y\'` DM4@  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 m,k .TW  
sUXtQ o)  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 iQLWmC5s  
MpY(. ~  
　　对于任意非直角三角形,总有 l (VeO'^I  
{4^H*,m6  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC pb)B154  
9 'staKV  
　　证: 6IP_<1a_  
|D&_C/   
　　A+B=π-C wt5s@T`v  
"yJ=M7QP  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Mq>Z $V{}  
!p_cG[RR  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ]GA =BZ  
+#qum$mb[  
　　整理可得 e@cY4NR~d  
]&w7lK"U  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC W +1RW!s  
" aYl lx  
　　得证 K+9G+.q-7  
=cxFBuC*  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 <bw tFWg  
RrzIr;I  
其他非重点三角函数 P{KnZjf  
%at6z .\  
　　csc(a) = 1/sin(a) qZ??1H  
'[?N3n84^  
　　sec(a) = 1/cos(a) 900ij-  
@W[^I  
　　 SIN&EQsyI  
<6kNu|bD  
双曲函数 !Q5`qzaf0&  
!FJai;@  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 y|K_,vX  
THnsG"oY  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 k76`c  
OJ4Mpq{Gi  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) N%;<O  
XG5$3& #x=  
　　公式一： o|-%*BI#U  
?9j7EE  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： +*S TIhzSd  
IdU)0 {nJ  
　　sin（2kπ＋α）= sinα L4^c}':5  
?JQ_!(S  
　　cos（2kπ＋α）= cosα  qg,pTY  
/9)yCx)  
　　tan（kπ＋α）= tanα qn7:=c7?`  
hp~h+S.  
　　cot（kπ＋α）= cotα EwX*V)`Qv  
cQoeM[enP  
　　公式二： iW.}d% J  
gn Hc  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： H i631  
WKUjFbN  
　　sin（π＋α）= -sinα k])1XopCi  
Q='9~A  
　　cos（π＋α）= -cosα q~ls7  
|z" KL c  
　　tan（π＋α）= tanα ? a<Eukc  
ur3yia(J  
　　cot（π＋α）= cotα -  _"  
6qc5IO^N  
　　公式三： 0cmP%V^  
^?FSu e !  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： (}AC),  
g3s4nrj[  
　　sin（-α）= -sinα >'-Gc!"I#  
Iq@$nqx  
　　cos（-α）= cosα Kg3vyKuqy  
6P&L)5+(~  
　　tan（-α）= -tanα #^oh|X e  
*_ ?FK  
　　cot（-α）= -cotα t~a*`#b[l  
4oSpdG=-2  
　　公式四： ,R-YF?  
Z BTY|j  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ? <#fZat  
*qf'|@>yS  
　　sin（π-α）= sinα "j|C&=S  
F:mhf>s)jv  
　　cos（π-α）= -cosα Oy6 @XpO  
@ZFpI<\  
　　tan（π-α）= -tanα `u4?E*VWw6  
Ege 1{|AS  
　　cot（π-α）= -cotα (6x'D(#  
uwi R?(  
　　公式五： sTi!O%]|  
9.*c+WR  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： n.4]aC\Y  
#d2-o%dU5  
　　sin（2π-α）= -sinα *#4J[ Gv  
P|]~jw  
　　cos（2π-α）= cosα -'*/w9!g]  
>M<W^:/  
　　tan（2π-α）= -tanα 7b?enf\N  
90,7DIS,  
　　cot（2π-α）= -cotα ,3+>!;b=  
/+2t]Cg  
　　公式六： t@M ;wQ9  
tV}>UD*Pt?  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： u?;x=  
]L 0y`\Q  
　　sin（π/2+α）= cosα V$!qN8lD  
r,? G=vi  
　　cos（π/2+α）= -sinα )zw!@(A{  
C0"cF^ g?  
　　tan（π/2+α）= -cotα '&L{X  
\&^nV  
　　cot（π/2+α）= -tanα =xJz#RUp  
]#z;]U  
　　sin（π/2-α）= cosα S%Z\@im  
ULzKISJQP  
　　cos（π/2-α）= sinα -<jb# YW$h  
8vcBB0l\a  
　　tan（π/2-α）= cotα # /?":|1  
MiExx*-  
　　cot（π/2-α）= tanα ~Kt2` 3  
ls[ f[[  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ]xdPwf]  
{m^e e%8  
　　cos（3π/2+α）= sinα lexliw  
s}}\ym0  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Km+O7iJ6  
_ N(Sb<C~  
　　cot（3π/2+α）= -tanα }Y0L(+  
19vFM\>I)  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ; Z|x;I  
&+J&=M4F@  
　　cos（3π/2-α）= -sinα +> `>?kcG  
=_O%t4o  
　　tan（3π/2-α）= cotα SY9+[^  
:&oXn  
　　cot（3π/2-α）= tanα <|L-  
o:^m;XGNf  
　　(以上k∈Z) 7C @[G(  
C&%k4O'*4  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 f,Co|$;#S  
M lrNtZa  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 1M1]M JI\  
yFzVlUt(  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ~n)FAD  
:a,0fI;  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15446) |  收藏